09 003 (2)
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №3 параграфа №9 "Предел функции" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Для каждого числа [math]\varepsilon\gt{0}[/math] найти такое число [math]\delta\gt{0}[/math], при котором из неравенств [math]0\lt|x-1|\lt\delta[/math] следует неравенство [math]\left|\frac{3x^2-4x+1}{x-1}-2\right|\lt\varepsilon[/math].

Решение

Обозначим [math]f(x)=\frac{3x^2-4x+1}{x-1}[/math]. Из условия [math]0\lt|x-1|\lt\delta[/math] имеем [math]x\neq{1}[/math].

[dmath] \left|\frac{3x^2-4x+1}{x-1}-2\right| =\left|\frac{(3x-1)(x-1)}{x-1}-2\right| =3\cdot|x-1| [/dmath]

Таким образом, неравенство [math]|f(x)-2|\lt\varepsilon[/math] равносильно неравенству [math]|x-1|\lt\frac{\varepsilon}{3}[/math]. Значит, чтобы из неравенств [math]0\lt|x-1|\lt\delta[/math] следовало неравенство [math]|f(x)-2|\lt\varepsilon[/math], нужно, чтобы значение [math]\delta[/math] не превосходило [math]\frac{\varepsilon}{3}[/math], т.е. [math]\delta\le\frac{\varepsilon}{3}[/math].

Ответ

[math]\delta\le\frac{\varepsilon}{3}[/math]