08 005 (2)
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №5 параграфа №8 "Предел последовательности" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Доказать, что [math]\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=1[/math].

Решение

Нужно доказать, что для любого [math]\varepsilon\gt{0}[/math] существует такой номер [math]n_{\varepsilon}[/math], что при всех [math]n\ge{n_{\varepsilon}}[/math] выполняется неравенство [math]\left|x_n-1 \right|\lt\varepsilon[/math]. Здесь [math]x_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}[/math]. Рассмотрим модуль разности [math]\left|x_n-1\right|[/math]:

[dmath] \begin{aligned} & \left|x_n-1 \right| =\left|\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}-1 \right| =\left|\frac{n-\sqrt{n^2+n}}{\sqrt{n^2+n}}\right| =\left|\frac{n^2-\left(n^2+n\right)}{\sqrt{n^2+n}\cdot\left(n+\sqrt{n^2+n}\right)}\right|=\\ & =\frac{n}{\sqrt{n^2+n}\cdot\left(n+\sqrt{n^2+n}\right)} \lt\frac{n}{\sqrt{n^2}\cdot\left(n+\sqrt{n^2}\right)} =\frac{1}{2n}. \end{aligned} [/dmath]

Таким образом, если [math]\varepsilon\gt\frac{1}{2n}[/math], то неравенство [math]\left|x_n-1 \right|\lt\varepsilon[/math] будет выполнено. Из неравенства [math]\varepsilon\gt\frac{1}{2n}[/math] имеем [math]n\gt\frac{1}{2\varepsilon}[/math]. Так как [math]\left[\frac{1}{2\varepsilon}\right]+1\gt\frac{1}{2\varepsilon}[/math], то неравенство [math]\left|x_n-1 \right|\lt\varepsilon[/math] будет выполнено и при [math]n\ge\left[\frac{1}{2\varepsilon}\right]+1[/math].

Следовательно, для любого [math]\varepsilon\gt{0}[/math] существует такой номер [math]n_{\varepsilon}=\left[\frac{1}{2\varepsilon}\right]+1[/math], что при всех [math]n\ge{n_{\varepsilon}}[/math] выполняется неравенство [math]\left|x_n-1 \right|\lt\varepsilon[/math]. Это означает, что [math]\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=1[/math].

Ответ

Утверждение доказано.