04 010 (2)
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №4 параграфа №4 "Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Доказать, что для любых чисел [math]a[/math] и [math]b[/math] справедливы равенства:

  1. [math]a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k}[/math].
  2. [math]a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k}[/math].

Решение

Пункт №1

[dmath] (a-b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k} =a\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k}-b\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k} =a\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n}b^ka^{n-k}+a^n\right)+b\cdot\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^ka^{n-k}+b^n\right)=\\ =a^{n+1}-b^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}b^ka^{n-k+1}-\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^{k+1}a^{n-k} =a^{n+1}-b^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}b^ka^{n-k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}b^ka^{n-k+1} =a^{n+1}-b^{n+1} [/dmath]

Ответ

Равенство доказано.