04 009 (2)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №9 параграфа №4 "Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Вычислить двойную сумму [math]\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}[/math], если:

  1. [math]a_{ij}=\left\{\begin{aligned}&0;\;i\neq{j};\\& 1;\;i=j.\end{aligned}\right.[/math]
  2. [math]a_{ij}=i[/math]
  3. [math]a_{ij}=i-j[/math]
  4. [math]a_{ij}=|i-j|[/math]

Решение

Пункт №1

Все члены рассматриваемой суммы будут равны 0, кроме тех элементов [math]a_{ij}[/math], у которых [math]i=j[/math].

[dmath] \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij} =\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii} =\sum\limits_{i=1}^{n}1 =n. [/dmath]


Пункт №2

[dmath] \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij} =\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}i =\sum\limits_{i=1}^{n}(in) =n\sum\limits_{i=1}^{n}i =n\cdot\frac{1+n}{2}\cdot{n} =\frac{n^2(n+1)}{2}. [/dmath]

Пункт №3

[dmath] \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij} =\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}(i-j) =\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}i-\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}j =\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}i-\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}j =\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}i-\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}i =0 [/dmath]

Пункт №4

Разобьём сумму [math]\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}[/math] на три: [math]S_1[/math], [math]S_2[/math] и [math]S_3[/math]. В первую сумму [math]S_1[/math] запишем те слагаемые, у которых [math]i=j[/math], т.е. слагаемые [math]a_{ii}=|i-i|=0[/math]. Соответственно, [math]S_1=0[/math].

В сумму [math]S_2[/math] поместим те слагаемые [math]a_{ij}[/math], у которых [math]i\lt{j}[/math], а в третью сумму [math]S_3[/math] поместим те слагаемые, у которых [math]i\gt{j}[/math]. Для каждого слагаемого [math]a_{ij}[/math] из суммы [math]S_2[/math] существует слагаемое [math]a_{ji}[/math] из суммы [math]S_3[/math]. И наоборот: для каждого слагаемого [math]a_{ij}[/math] из третьей суммы существует слагаемое [math]a_{ji}[/math] из второй суммы. Так как при этом [math]|i-j|=|j-i|[/math], то [math]S_2=S_3[/math]. Таким образом, исходная сумма будет равна [math]2S_2[/math].

[dmath] \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij} =2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^{n}(j-i) =2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(\sum\limits_{j=i+1}^{n}j-\sum\limits_{j=i+1}^{n}i\right) =2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(\frac{i+1+n}{2}\cdot(n-i)-i\cdot(n-i)\right)=\\ =2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{2}i^2-\left(n+\frac{1}{2}\right)i+\frac{n^2+n}{2}\right) =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\left(n+\frac{1}{2}\right)\cdot(n+1)n+\left(n^2+n\right)\cdot{n} =\frac{n\left(n^2-1\right)}{3} [/dmath]


Ответ

  1. [math]n[/math]
  2. [math]\frac{n^2(n+1)}{2}[/math]
  3. 0
  4. [math]\frac{n\left(n^2-1\right)}{3}[/math]