04 003 (2)
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №3 параграфа №4 "Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Пусть [math]S_n[/math] – сумма первых [math]n[/math] членов арифметической прогрессии. Доказать, что:

  1. [math]S_{n+3}=3S_{n+2}-3S_{n+1}+S_n[/math];
  2. [math]S_{3n}=3\left(S_{2n}-S_n\right)[/math].

Решение

Пусть [math]d[/math] – разность этой прогрессии.

Пункт №1

Так как [math]S_{n+3}=S_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}[/math], [math]S_{n+2}=S_{n+1}+a_{n+2}[/math], [math]S_n=S_{n+1}-a_{n+1}[/math], то получим:

[dmath] S_{n+3}-3S_{n+2}+3S_{n+1}-S_n=\\ =S_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}-3S_{n+1}-3a_{n+2}+3S_{n+1}-S_{n+1}+a_{n+1}=\\ =-2a_{n+2}+a_{n+3}+a_{n+1} =-2a_{n+2}+a_{n+2}+d+a_{n+2}-d =0. [/dmath]

Так как [math]S_{n+3}-3S_{n+2}+3S_{n+1}-S_n=0[/math], то [math]S_{n+3}=3S_{n+2}-3S_{n+1}+S_n[/math].

Пункт №2

[dmath] S_{3n}-3\cdot\left(S_{2n}-S_n\right) =\frac{a_1+a_{3n}}{2}\cdot{3n}-3\cdot\left(\frac{a_1+a_{2n}}{2}\cdot{2n}-\frac{a_1+a_n}{2}\cdot{n}\right)=\\ =\frac{3n}{2}\cdot\left(a_1+a_{3n}-2a_1-2a_{2n}+a_1+a_n\right) =\frac{3n}{2}\cdot\left(a_{3n}-2a_{2n}+a_n\right) =\frac{3n}{2}\cdot\left(a_1+d(3n-1)-2a_1-2d(2n-1)+a_1+d(n-1)\right) =0. [/dmath]

Так как [math]S_{3n}-3\cdot\left(S_{2n}-S_n\right)=0[/math], то [math]S_{3n}=3\left(S_{2n}-S_n\right)[/math].

Ответ

Оба равенства доказаны.