04 002 (2)
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №2 параграфа №4 "Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Доказать, что если положительные числа [math]a_1[/math], [math]a_2[/math],..., [math]a_n[/math] являются последовательными членами арифметической прогрессии, то:

[dmath] \frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}} [/dmath]

Решение

Пусть [math]d[/math] – разность арифметической прогрессии. Тогда для любой пары номеров [math]i[/math] и [math]i+1[/math] получим [math]d=a_{i+1}-a_i[/math]. Запись будем вести в сокращённой форме, мне она кажется наиболее удобной.

[dmath] \sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{a_i}+\sqrt{a_{i+1}}} =\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{\sqrt{a_i}-\sqrt{a_{i+1}}}{\left(\sqrt{a_i}+\sqrt{a_{i+1}}\right)\cdot\left(\sqrt{a_i}-\sqrt{a_{i+1}}\right)}=\\ =\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{\sqrt{a_i}-\sqrt{a_{i+1}}}{a_i-a_{i+1}} =\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{\sqrt{a_{i+1}}-\sqrt{a_{i}}}{d} =\frac{1}{d}\cdot\left(\sum\limits_{i=2}^{n}\sqrt{a_i}-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sqrt{a_i}\right)=\\ =\frac{1}{d}\cdot\left(\sum\limits_{i=2}^{n-1}\sqrt{a_i}+\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}-\sum\limits_{i=2}^{n-1}\sqrt{a_i}\right) =\frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}}{d} =\frac{a_n-a_1}{d\cdot\left(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}\right)} =\frac{a_1+d(n-1)-a_1}{d\cdot\left(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}\right)} =\frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}. [/dmath]

Ответ

Равенство доказано.