04 001 (2)
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №1 параграфа №4 "Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Доказать, что если положительные числа [math]a[/math], [math]b[/math], [math]c[/math] являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа [math]\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}[/math], [math]\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}[/math], [math]\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}[/math] также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Решение

Если положительные числа [math]a[/math], [math]b[/math], [math]c[/math] являются последовательными членами арифметической прогрессии, то существует такое число [math]d[/math], что [math]b=a+d[/math], [math]c=a+2d[/math].

[dmath] \begin{aligned} & x_1=\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{d};\\ & x_2=\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{a}}{c-a}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{a}}{2d};\\ & x_3=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{d}. \end{aligned} [/dmath]

[dmath] \begin{aligned} & x_2-x_1=\frac{2\sqrt{b}-\sqrt{c}-\sqrt{a}}{2d};\\ & x_3-x_2=\frac{2\sqrt{b}-\sqrt{c}-\sqrt{a}}{2d}. \end{aligned} [/dmath]

Выполнение равенства [math]x_2-x_1=x_3-x_2[/math] говорит о том, что числа [math]x_1[/math], [math]x_2[/math], [math]x_3[/math] будут последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ

Утверждение доказано.