01 012 (3)
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №12 параграфа №1 "Общие приёмы и методы интегрирования" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №2, 2003 г.).

Условие задачи

Найти интегралы:

  1. [math]\int{x^2}\sqrt{x^3+1}dx[/math]
  2. [math]\int{x}\sqrt{1+x}dx[/math]

Решение

Пункт №1

[dmath] \int{x^2}\sqrt{x^3+1}dx =\frac{\sgn\left(x^3+1\right)}{3}\int\left(x^3+1\right)^{\frac{1}{2}}d\left(x^3+1\right) =\frac{\sgn\left(x^3+1\right)}{3}\cdot\frac{\left(x^3+1\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C =\frac{2\sqrt{\left(x^3+1\right)^3}}{9}+C [/dmath]


Пункт №2

[dmath] \int{x}\sqrt{1+x}dx =\int\left(x+1-1\right)\sqrt{x+1}dx =\int\left((x+1)^{\frac{3}{2}}-(x+1)^{\frac{1}{2}}\right)dx =\frac{2(x+1)^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}{3}+C =\frac{2\sqrt{(x+1)^3}\cdot(3x-2)}{15}+C [/dmath]


Ответ

  1. [math]\frac{2\sqrt{\left(x^3+1\right)^3}}{9}+C[/math]
  2. [math]\frac{2\sqrt{(x+1)^3}\cdot(3x-2)}{15}+C[/math]