01 002 (2)
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №2 параграфа №1 "Множества. Комбинаторика" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Доказать, что равенства: 1) [math]A\cup{B}=B[/math]; 2) [math]A\cap{B}=A[/math]; верны тогда и только тогда, когда [math]A\subset{B}[/math].

Решение

Пункт №1

Первый способ

Докажем, что при условии [math]A\subset{B}[/math] верно равенство [math]A\cup{B}=B[/math].

Пусть [math]x\in{A\cup{B}}[/math]. Тогда [math]x\in{A}[/math] или [math]x\in{B}[/math]. Если [math]x\in{A}[/math], то с учётом [math]A\subset{B}[/math] имеем [math]x\in{B}[/math]. Таким образом, из условия [math]x\in{A\cup{B}}[/math] имеем [math]x\in{B}[/math], т.е. [math]A\cup{B}\subset{B}[/math].

Пусть теперь [math]x\in{B}[/math]. Тогда по определению объединения множеств имеем [math]x\in\left(A\cup{B}\right)[/math], т.е. [math]B\subset{A\cup{B}}[/math].

Так как [math]A\cup{B}\subset{B}[/math] и [math]B\subset{A\cup{B}}[/math], то [math]A\cup{B}=B[/math].


Докажем, что при условии [math]A\cup{B}=B[/math] верно условие [math]A\subset{B}[/math].

Пусть следствие неверно, т.е. [math]A\not\subset{B}[/math]. Тогда существует элемент [math]x\in{A}[/math] такой, что [math]x\notin{B}[/math]. Однако такой элемент будет принадлежать левой части равенства [math]A\cup{B}=B[/math], но не будет принадлежать правой части этого равенства. Полученное противоречие говорит о том, что сделанное предположение неверно, т.е. [math]A\subset{B}[/math].

Второй способ

Пусть [math]\chi_{A}[/math] и [math]\chi_{B}[/math] – характеристические функции множеств [math]A[/math] и [math]B[/math] соответственно. Покажем, что предикат [math]\left(\chi_{A}(x)\vee\chi_{B}(x)\leftrightarrow\chi_{B}(x)\right)\leftrightarrow\left(\chi_{A}(x)\rightarrow\chi_{B}(x)\right)[/math] будет истинным на всех четырёх наборах [math]\left(\chi_{A}(x);\;\chi_{B}(x)\right)[/math].

[math]\chi_{A}(x)[/math] [math]\chi_{B}(x)[/math] [math]\chi_{A}(x)\vee\chi_{B}(x)[/math] [math]\chi_{A}(x)\vee\chi_{B}(x)\leftrightarrow\chi_{B}(x)[/math] [math]\chi_{A}(x)\rightarrow\chi_{B}(x)[/math] [math]\left(\chi_{A}(x)\vee\chi_{B}(x)\leftrightarrow\chi_{B}(x)\right)\leftrightarrow\left(\chi_{A}(x)\rightarrow\chi_{B}(x)\right)[/math]
0 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 1
1 1 1 1 1 1

Следовательно, предикат [math]\left(\chi_{A}(x)\vee\chi_{B}(x)\leftrightarrow\chi_{B}(x)\right)\leftrightarrow\left(\chi_{A}(x)\rightarrow\chi_{B}(x)\right)[/math] является тождественно истинным. Это значит, что равенство [math]A\cup{B}=B[/math] верно тогда и только тогда, когда [math]A\subset{B}[/math].

Пункт №2

Первый способ

Докажем, что из условия [math]A\subset{B}[/math] следует [math]A\cap{B}=A[/math].

Пусть [math]x\in{A\cap{B}}[/math]. Тогда по определению пересечения множеств имеем [math]x\in{A}[/math]. Следовательно, [math]A\cap{B}\subset{A}[/math].

Пусть [math]x\in{A}[/math], тогда из условия [math]A\subset{B}[/math] имеем [math]x\in{B}[/math], поэтому [math]x\in{A\cap{B}}[/math], т.е. [math]A\subset{A\cap{B}}[/math].

Так как [math]A\cap{B}\subset{A}[/math] и [math]A\subset{A\cap{B}}[/math], то [math]A\cap{B}=A[/math].


Докажем, что из условия [math]A\cap{B}=A[/math] следует [math]A\subset{B}[/math].

Пусть следствие неверно, т.е. [math]A\not\subset{B}[/math]. Тогда существует элемент [math]x\in{A}[/math] такой, что [math]x\notin{B}[/math]. Однако такой элемент не будет принадлежать левой части равенства [math]A\cap{B}=A[/math], но будет принадлежать правой части этого равенства. Полученное противоречие говорит о том, что [math]A\subset{B}[/math].


Второй способ

Пусть [math]\chi_{A}[/math] и [math]\chi_{B}[/math] – характеристические функции множеств [math]A[/math] и [math]B[/math] соответственно. Покажем, что предикат [math]\left(\chi_{A}(x)\wedge\chi_{B}(x)\leftrightarrow\chi_{A}(x)\right)\leftrightarrow\left(\chi_{A}(x)\rightarrow\chi_{B}(x)\right)[/math] будет истинным на всех четырёх наборах [math]\left(\chi_{A}(x);\;\chi_{B}(x)\right)[/math].

[math]\chi_{A}(x)[/math] [math]\chi_{B}(x)[/math] [math]\chi_{A}(x)\wedge\chi_{B}(x)[/math] [math]\chi_{A}(x)\wedge\chi_{B}(x)\leftrightarrow\chi_{A}(x)[/math] [math]\chi_{A}(x)\rightarrow\chi_{B}(x)[/math] [math]\left(\chi_{A}(x)\wedge\chi_{B}(x)\leftrightarrow\chi_{A}(x)\right)\leftrightarrow\left(\chi_{A}(x)\rightarrow\chi_{B}(x)\right)[/math]
0 0 0 1 1 1
0 1 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1

Следовательно, предикат [math]\left(\chi_{A}(x)\wedge\chi_{B}(x)\leftrightarrow\chi_{A}(x)\right)\leftrightarrow\left(\chi_{A}(x)\rightarrow\chi_{B}(x)\right)[/math] является тождественно истинным. Это значит, что равенство [math]A\cap{B}=A[/math] верно тогда и только тогда, когда [math]A\subset{B}[/math].

Ответ

Оба утверждения доказаны.