№1203 (5)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №1203 раздела №2 "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти [math]y^{(n)}[/math], если [math]y=x^2\sin{ax}[/math].

Решение

Случай [math]a=0[/math] тривиален: [math]y^{(n)}=0[/math].

Рассмотрим случай [math]a\neq{0}[/math]. Применим формулу Лейбница. В этой формуле будут лишь три ненулевых слагаемых, которые содержат [math]x^2[/math], [math]\left(x^2\right)'[/math] и [math]\left(x^2\right)''[/math]. При этом учтём и такую формулу:

[dmath] (\sin{ax})^{(n)} =a^n\sin\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right) [/dmath]

[math] y^{(n)} =\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\left(x^2\right)^{(k)}(\sin{ax})^{(n-k)} =C_{n}^{0}\cdot{x^2}\cdot(\sin{ax})^{(n)}+C_{n}^{1}\cdot{2x}\cdot(\sin{ax})^{(n-1)}+2C_{n}^{2}\cdot(\sin{ax})^{(n-2)}=\\ =x^2\cdot{a^n}\sin\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)+2nx\cdot{a^{n-1}}\sin\left(ax+\frac{\pi{(n-1)}}{2}\right)+n(n-1)\cdot{a^{n-2}}\sin\left(ax+\frac{\pi{(n-2)}}{2}\right) =a^{n-2}\cdot\left( \left(a^2x^2-n^2+n\right)\sin\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)-2anx\cdot\cos\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)\right). [/math]


Ответ

[math]a^{n-2}\cdot\left( \left(a^2x^2-n^2+n\right)\sin\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)-2anx\cdot\cos\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)\right)[/math]