№1179 (1)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №1179 параграфа №2 главы №4 "Исследование функций и их графиков" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти экстремумы функции [math]y=\frac{1}{2}\arctg{x}-\frac{\pi}{8}x^2-\frac{x-1}{2}[/math].

Решение

Данная функция определена при всех [math]x\in{R}[/math].

[math] y' =x\arctg{x}+\frac{1}{2}-\frac{\pi{x}}{4}-\frac{1}{2} =x\left(\arctg{x}-\frac{\pi}{4}\right). [/math]

[math] x\left(\arctg{x}-\frac{\pi}{4}\right)=0;\\ x=0;\;x=1. [/math]

Так как при [math]x\lt{0}[/math] имеем [math]y'\gt{0}[/math], при [math]0\lt{x}\lt{1}[/math] имеем [math]y'\lt{0}[/math] а при [math]x\gt{0}[/math] имеем [math]y'\gt{0}[/math], то [math]x=0[/math] – точка максимума, [math]x=1[/math] – точка минимума.

[math] y_{\min}=y(1)=\frac{\pi}{8};\\ y_{\max}=y(0)=\frac{1}{2}. [/math]

Ответ

[math]y_{\min}=\frac{\pi}{8}[/math]; [math]y_{\max}=\frac{1}{2}[/math].