№0519 (5)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №519 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти пределы:

  1. [math]\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1+\tg{x}}{1+\sin{x}}\right)^{\frac{1}{\sin{x}}}[/math]
  2. [math]\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1+\tg{x}}{1+\sin{x}}\right)^{\frac{1}{\sin^3{x}}}[/math]

Решение

Пункт №1

[math] \lim_{x\to{0}}\left(\frac{1+\tg{x}}{1+\sin{x}}\right)^{\frac{1}{\sin{x}}} =\left[1^{\infty}\right] =\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{1+\tg{x}}{1+\sin{x}}-1\right)^{\frac{1}{\sin{x}}} =\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{\tg{x}-\sin{x}}{1+\sin{x}}\right)^{\frac{1}{\sin{x}}}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{\tg{x}-\sin{x}}{1+\sin{x}}\right)^{\frac{1+\sin{x}}{\tg{x}-\sin{x}}\cdot\frac{\tg{x}-\sin{x}}{\sin{x}\cdot\left(1+\sin{x}\right)}} =\lim_{x\to{0}}\left(\left(1+\frac{\tg{x}-\sin{x}}{1+\sin{x}}\right)^{\frac{1+\sin{x}}{\tg{x}-\sin{x}}}\right)^{\frac{\frac{1}{\cos{x}}-1}{1+\sin{x}}} =e^0 =1. [/math]

Пункт №2

[math] \lim_{x\to{0}}\left(\frac{1+\tg{x}}{1+\sin{x}}\right)^{\frac{1}{\sin^3{x}}} =\left[1^{\infty}\right] =\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{1+\tg{x}}{1+\sin{x}}-1\right)^{\frac{1}{\sin^3{x}}} =\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{\tg{x}-\sin{x}}{1+\sin{x}}\right)^{\frac{1}{\sin^3{x}}}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{\tg{x}-\sin{x}}{1+\sin{x}}\right)^{\frac{1+\sin{x}}{\tg{x}-\sin{x}}\cdot\frac{\tg{x}-\sin{x}}{\sin^3{x}\cdot\left(1+\sin{x}\right)}} =\lim_{x\to{0}}\left(\left(1+\frac{\tg{x}-\sin{x}}{1+\sin{x}}\right)^{\frac{1+\sin{x}}{\tg{x}-\sin{x}}}\right)^{\frac{\tg{x}-\sin{x}}{\sin^3{x}}} =e^{\frac{1}{2}} =\sqrt{e}. [/math]

В данном примере был использован предел №475.

Ответ

  1. 1
  2. [math]\sqrt{e}[/math]