№0504 (5)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №504 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2}[/math].

Решение

[math] \frac{1-\cos{x}\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2} =\frac{1+(1-\cos{x})\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}-\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2} =\frac{(1-\cos{x})\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2}-\frac{1-\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2}=\\ =\frac{(1-\cos{x})\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2}-\frac{\left(1-\sqrt{\cos{2x}}\right)\sqrt[3]{\cos{3x}}+1-\sqrt[3]{\cos{2x}}}{x^2} =\frac{1-\cos{x}}{x^2}\cdot\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}+\frac{1-\sqrt{\cos{2x}}}{x^2}\cdot\sqrt[3]{\cos{3x}}+\frac{1-\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2} [/math]

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{x^2} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\cos{x}\right)\left(1+\cos{x}\right)}{x^2\left(1+\cos{x}\right)} =\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos^2x}{x^2\left(1+\cos{x}\right)} =\lim_{x\to{0}}\left(\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos{x}}\right) =\frac{1}{2}. [/math]

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{1-\sqrt{\cos{2x}}}{x^2} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\sqrt{\cos{2x}}\right)\cdot\left(1+\sqrt{\cos{2x}}\right)}{x^2\cdot\left(1+\sqrt{\cos{2x}}\right)} =\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{2x}}{x^2\cdot\left(1+\sqrt{\cos{2x}}\right)} =\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2{x}}{x^2\cdot\left(1+\sqrt{\cos{2x}}\right)} =1. [/math]

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{1-\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\sqrt[3]{\cos{3x}}\right)\left(1+\sqrt[3]{\cos{3x}}+\sqrt[3]{\cos^2{3x}}\right)}{x^2\left(1+\sqrt[3]{\cos{3x}}+\sqrt[3]{\cos^2{3x}}\right)} =\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{3x}}{x^2\left(1+\sqrt[3]{\cos{3x}}+\sqrt[3]{\cos^2{3x}}\right)} =\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2\frac{3x}{2}}{x^2\left(1+\sqrt[3]{\cos{3x}}+\sqrt[3]{\cos^2{3x}}\right)} =\frac{3}{2}. [/math]

Возвращаясь к исходному пределу, получим:

[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2} =\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2} =3. [/dmath]

Ответ

[math]3[/math]