№0475 (5)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №475 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\tg{x}-\sin{x}}{\sin^3x}[/math].

Решение

В этом примере есть два пути решения: с использованием первого замечательного предела и без оного. Начало решения одинаковое, как в первом, так и втором случаях:

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{\tg{x}-\sin{x}}{\sin^3x}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\sin{x}}{\sin^3x} =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}\cdot\left(\frac{1}{\cos{x}}-1\right)}{\sin^3x} =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{1}{\cos{x}}-1}{\sin^2x} =\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{\sin^2x\cdot\cos{x}} [/math]


Дальше можно продолжить решение с помощью простого преобразования: [math]\sin^2x=1-\cos^2x[/math]:

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{\sin^2x\cdot\cos{x}} =\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{\left(1-\cos^2x\right)\cdot\cos{x}} =\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{\left(1-\cos{x}\right)\cdot\left(1+\cos{x}\right)\cdot\cos{x}} =\lim_{x\to{0}}\frac{1}{\left(1+\cos{x}\right)\cdot\cos{x}} =\frac{1}{2}. [/math]


А можно использовать равенство [math]1-\cos{x}=2\sin^2\frac{x}{2}[/math], а затем применить первый замечательный предел:

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{\sin^2x\cdot\cos{x}} =\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{\sin^2x\cdot\cos{x}} =\frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2}{\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^2\cdot\cos{x}} =\frac{1}{2}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{2}[/math]