№0456 (5)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №456 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{1}}\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\cdot\left(1-\sqrt[3]{x}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\sqrt[n]{x}\right)}{(1-x)^{n-1}}[/math].

Решение

Используем результат №444, т.е. [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}[/math]. Осуществим замену переменной [math]x=1+t[/math]:

[math] \lim_{x\to{1}}\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\cdot\left(1-\sqrt[3]{x}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\sqrt[n]{x}\right)}{(1-x)^{n-1}} =\lim_{x\to{1}}\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(\sqrt[3]{x}-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(\sqrt[n]{x}-1\right)}{(x-1)^{n-1}}=\\ =\left|\begin{aligned}&x=t+1;\\&t\to{0}.\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+t}-1\right)\cdot\left(\sqrt[3]{1+t}-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(\sqrt[n]{1+t}-1\right)}{t^{n-1}}=\\ =\lim_{t\to{0}}\left(\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}\cdot\frac{\sqrt[3]{1+t}-1}{t}\cdot\ldots\cdot\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\ldots\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n!}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{n!}[/math]