№0453 (5)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №453 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}\cdot\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}[/math], [math]m\in{N}[/math], [math]n\in{N}[/math].

Решение

Здесь можно использовать метод выделения главной части, а можно и результат №444, т.е. [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}[/math]. Также применим такую формулу: [math]\lim_{x\to{0}}\sqrt[n]{1+x}=1[/math] (этот результат доказан в ходе решения той же задачи №444.

Полагая, что [math]\alpha\neq{0}[/math] и [math]\beta\neq{0}[/math], получим:

[math] \begin{aligned} &\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&t=\alpha{x};\;x=\frac{t}{\alpha};\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\alpha\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}=\frac{\alpha}{m};\\ &\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&t=\beta{x};\;x=\frac{t}{\beta};\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\beta\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}=\frac{\beta}{n};\\ &\lim_{x\to{0}}\sqrt[m]{1+\alpha{x}}=\left|\begin{aligned}&t=\alpha{x};\\&t\to{0}.\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{0}}\sqrt[m]{1+t}=1. \end{aligned} [/math]


Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что полученные выше формулы верны и при [math]\alpha=0[/math], [math]\beta=0[/math].

Исходный предел преобразуем следующим образом:


[math] \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}\cdot\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}\left(\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1+1\right)-1}{x}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(\sqrt[m]{1+\alpha{x}}\cdot\frac{\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}+\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1}{x}\right) =1\cdot\frac{\alpha}{m}+\frac{\beta}{n}=\frac{\alpha}{m}+\frac{\beta}{n}. [/math]

Можно использовать и выделение главной части, как в предыдущем примере №452.

Ответ

[math]\frac{\alpha}{m}+\frac{\beta}{n}[/math]