№0446 (5)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №446 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2}[/math].

Решение

[math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^2\right)^2}+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4\right)}{\left(x+x^2\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^2\right)^2}+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{3x-x^2}{\left(x+x^2\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^2\right)^2}+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{x(3-x)}{x\left(1+x\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^2\right)^2}+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{3-x}{\left(1+x\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^2\right)^2}+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4\right)}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}.[/math]

Ответ

[math]\frac{1}{4}[/math]