№0444 (5)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №444 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}[/math], [math]n[/math] – натуральное число.

Решение

Делаем замену переменной, полагая [math]u=\sqrt[n]{1+x}-1[/math], откуда [math]x=(u+1)^n-1[/math]. Выясним, к чему стремится переменная [math]u[/math] при условии [math]x\to{0}[/math], т.е. найдём значение [math]\lim_{x\to{0}}\left(\sqrt[n]{1+x}-1\right)[/math]. Для начала докажем вспомогательное неравенство [math]\alpha^n\le\alpha[/math] при [math]\alpha\in(0;1)[/math] и [math]n\in{N}[/math].



Рассмотрим неравенство [math]\alpha^n\le\alpha[/math]. Данное неравенство очевидно при [math]n=1[/math], посему дальнейшие рассуждения будем вести при [math]n\ge{2}[/math].

[dmath]\alpha^n-\alpha\le{0};\;\alpha\left(\alpha^{n-1}-1\right)\le{0}.[/dmath]

Многочлен [math]\alpha^{n-1}-1[/math] при нечётном значении [math]n-1[/math] имеет один действительный корень [math]\alpha=1[/math], поэтому [math]\alpha^{n-1}-1=(\alpha-1)\cdot{P_{n-2}(\alpha)}[/math], где [math]P_{n-2}(\alpha)[/math] – многочлен порядка [math]n-2[/math], не имеющий действительных корней, причём [math]P_{n-2}(\alpha)\gt{0}[/math]. Сокращая обе части неравенства [math]\alpha\cdot(\alpha-1)\cdot{P_{n-2}(\alpha)}\le{0}[/math] на [math]P_{n-2}(\alpha)[/math], приходим к неравенству [math]\alpha\cdot(\alpha-1)\le{0}[/math], откуда имеем [math]0\le\alpha\le{1}[/math].

Многочлен [math]\alpha^{n-1}-1[/math] при чётном значении [math]n-1[/math] имеет два действительных корня: [math]\alpha=-1[/math] и [math]\alpha=1[/math], поэтому [math]\alpha^{n-1}-1=(\alpha-1)(\alpha+1)\cdot{Q_{n-3}(\alpha)}[/math], где [math]Q_{n-3}(\alpha)[/math] – многочлен порядка [math]n-3[/math], не имеющий действительных корней, причём [math]Q_{n-3}(\alpha)\gt{0}[/math]. Сокращая обе части неравенства [math]\alpha\cdot(\alpha-1)(\alpha+1)\cdot{Q_{n-3}(\alpha)}\le{0}[/math] на [math]Q_{n-3}(\alpha)[/math], приходим к неравенству [math]\alpha\cdot(\alpha-1)\cdot(\alpha+1)\le{0}[/math], откуда имеем [math]\alpha\in(-\infty;-1]\cup[0;1][/math].

Таким образом, каким бы ни было значение [math]n\in{N}[/math], неравенство [math]\alpha^n\le\alpha[/math] будет выполнено при [math]0\le\alpha\le{1}[/math]. Так как неравенство [math]\alpha^n\le\alpha[/math] верно при [math]0\le\alpha\le{1}[/math], то оно верно и при [math]\alpha\in(0;1)[/math].



Пусть [math]|x|\lt{1}[/math] ([math]x\neq{0}[/math]). Тогда при [math]-1\lt{x}\lt{0}[/math] получим [math]1-|x|=1-(-x)=1+x[/math]. Согласно доказанному ранее имеем: [math](1+x)^n\le{1+x}[/math], т.е. [math](1-|x|)^n\le{1+x}[/math]. Далее, [math]1+x\lt{1}\lt(1+|x|)^n[/math]. Таким образом, [math](1-|x|)^n\le{1+x}\lt(1+|x|)^n[/math]. Аналогично, при [math]0\lt{x}\lt{1}[/math] будем иметь [math](1-|x|)^n\lt{1+x}\le(1+|x|)^n[/math]. Объединяя оба неравенства при условии [math]|x|\lt{1}[/math], получим: [math](1-|x|)^n\le{1+x}\le(1+|x|)^n[/math], откуда (ввиду положительности всех частей неравенства) следует [math]1-|x|\le\sqrt[n]{1+x}\le{1+|x|}[/math]. Так как [math]\lim_{x\to{0}}\left(1-|x|\right)=1[/math], [math]\lim_{x\to{0}}\left(1+|x|\right)=1[/math] и [math]1-|x|\le\sqrt[n]{1+x}\le{1+|x|}[/math], то [math]\lim_{x\to{0}}\sqrt[n]{1+x}=1[/math]. Отсюда имеем [math]\lim_{x\to{0}}\left(\sqrt[n]{1+x}-1\right)=1-1=0[/math]. Переходя к новой переменной, будем иметь:


[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{u\to{0}}\frac{u}{(u+1)^n-1}=\lim_{u\to{0}}\frac{u}{C_{n}^{0}u^n+C_{n}^{1}u^{n-1}+\ldots+C_{n}^{n-1}u+C_{n}^{n}-1}=\\= \lim_{u\to{0}}\frac{u}{C_{n}^{0}u^n+C_{n}^{1}u^{n-1}+\ldots+C_{n}^{n-1}u}= \lim_{u\to{0}}\frac{u}{u\cdot\left(C_{n}^{0}u^{n-1}+C_{n}^{1}u^{n-2}+\ldots+C_{n}^{n-1}\right)}=\\= \lim_{u\to{0}}\frac{u}{C_{n}^{0}u^{n-1}+C_{n}^{1}u^{n-2}+\ldots+C_{n}^{n-1}}=\frac{1}{C_{n}^{n-1}}=\frac{1}{n}. [/dmath]


Есть и иной способ решения данного примера, – домножить на сопряжённое выражение, используя следующую формулу:

[dmath]a^n-b^n=(a-b)\cdot\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)[/dmath]

Полагая [math]a=\sqrt[n]{1+x}[/math] и [math]b=1[/math] получим, что числитель и знаменатель дроби [math]\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}[/math] нужно домножить на выражение [math]\left(\sqrt[n]{(1+x)^{n-1}}+\sqrt[n]{(1+x)^{n-2}}+\sqrt[n]{(1+x)^{n-3}}+\ldots+\sqrt[n]{1+x}+1\right)[/math]. После домножения, раскрытия скобок и упрощения получим, что


[dmath]\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{\sqrt[n]{(1+x)^{n-1}}+\sqrt[n]{(1+x)^{n-2}}+\sqrt[n]{(1+x)^{n-3}}+\ldots+\sqrt[n]{1+x}+1}[/dmath]


Переходя к пределу, получим тот же ответ, что и ранее.


Ответ

[math]\frac{1}{n}[/math]