№0424 (5)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №424 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти пределы:

  1. [math]\lim_{x\to{1}}\frac{x+x^2+\ldots+x^n-n}{x-1}[/math]
  2. [math]\lim_{x\to{1}}\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}[/math]

Решение

Пункт №1

Используя схему Горнера, разделим многочлен [math]x^n+\ldots+x^2+x-n[/math] на [math]x-1[/math]:

[dmath] \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c} & 1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & -n\\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & n & 0 \end{array} [/dmath]

[dmath] x^n+\ldots+x^2+x-n =(x-1)\left(x^{n-1}+2x^{n-2}+3x^{n-3}+4x^{n-4}+\ldots+n\right) [/dmath]

[math] \lim_{x\to{1}}\frac{x+x^2+\ldots+x^n-n}{x-1} =\lim_{x\to{1}}\frac{(x-1)\left(x^{n-1}+2x^{n-2}+3x^{n-3}+4x^{n-4}+\ldots+n\right)}{x-1}=\\ =\lim_{x\to{1}}\left(x^{n-1}+2x^{n-2}+3x^{n-3}+4x^{n-4}+\ldots+n\right) =1+2+3+4+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}. [/math]

Пункт №2

Сделаем замену [math]t=x-1[/math], [math]t\to{0}[/math].

[math] \lim_{x\to{1}}\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1} =\lim_{t\to{0}}\frac{(1+t)^{100}-2(1+t)+1}{(1+t)^{50}-2(1+t)+1} =\lim_{t\to{0}}\frac{1+100t+o(t)-2-2t+1}{1+50t+o(t)-2-2t+1} =\lim_{t\to{0}}\frac{98t+o(t)}{48t+o(t)} =\lim_{t\to{0}}\frac{98+\frac{o(t)}{t}}{48+\frac{o(t)}{t}} =\frac{49}{24}. [/math]

Ответ

  1. [math]\frac{n(n+1)}{2}[/math]
  2. [math]\frac{49}{24}[/math]