№0401 (1)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №401 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\left(\cos{x}+a\sin{bx}\right)^{\frac{1}{x}}[/math].

Решение

Запишем пару вспомогательных пределов.

[dmath] \begin{aligned} &\lim_{x\to{0}}\frac{\cos{x}-1}{x}=\lim_{x\to{0}}\frac{-2\sin^2\frac{x}{2}}{x}=0;\\ &\lim_{x\to{0}}\frac{a\sin{bx}}{x}=ab. \end{aligned} [/dmath]

Исходя из этих пределов получим:

[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{\cos{x}-1+a\sin{bx}}{x} =\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\cos{x}-1}{x}+\frac{a\sin{bx}}{x}\right) =0+ab =ab. [/dmath]

Вернёмся к пределу, заданному в условии:

[dmath] \lim_{x\to{0}}\left(\cos{x}+a\sin{bx}\right)^{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to{0}}\left(1+\cos{x}-1+a\sin{bx}\right)^{\frac{1}{x}}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(\left(1+\cos{x}-1+a\sin{bx}\right)^{\frac{1}{\cos{x}-1+a\sin{bx}}}\right)^{\frac{\cos{x}-1+a\sin{bx}}{x}} =e^{ab}. [/dmath]

Ответ

[math]e^{ab}[/math]