№0395 (1)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №395 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\arcsin{x}-\arctg{x}}{x^3}[/math].

Решение

Рассмотрим вспомогательный предел, чтобы не загромождать запись с дальнейшем:

[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x^2} =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\sqrt{1-x^2}\right)\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)}{x^2\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)} =\lim_{x\to{0}}\frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}} =\frac{1}{2}. [/dmath]

Возвращаясь к исходному пределу, получим:

[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{\arcsin{x}-\arctg{x}}{x^3} =\lim_{x\to{0}}\frac{\arctg\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-\arctg{x}}{x^3} =\lim_{x\to{0}}\frac{\arctg\frac{x\left(x-\sqrt{1-x^2}\right)}{x^2+\sqrt{1-x^2}}}{x^3}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\arctg\frac{x\left(x-\sqrt{1-x^2}\right)}{x^2+\sqrt{1-x^2}}}{\frac{x\left(x-\sqrt{1-x^2}\right)}{x^2+\sqrt{1-x^2}}}\cdot\frac{x-\sqrt{1-x^2}}{x^2}\cdot\frac{1}{x^2+\sqrt{1-x^2}} \right) =1\cdot\frac{1}{2}\cdot{1} =\frac{1}{2}. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{1}{2}[/math]