№0393 (1)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №393 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to\infty}x\left(\arctg\frac{x+1}{x+2}-\frac{\pi}{4}\right)[/math].

Решение

[dmath] \begin{aligned} & \arctg{x}-\arctg{y}=\arctg\frac{x-y}{1+xy};\;xy\gt{-1}.\\ & \arctg\frac{x+1}{x+2}-\arctg{1}=\arctg\frac{-1}{2x+3}. \end{aligned} [/dmath]

[dmath] \lim_{x\to\infty}x\left(\arctg\frac{x+1}{x+2}-\frac{\pi}{4}\right) =\lim_{x\to\infty}\left(x\cdot\arctg\frac{-1}{2x+3}\right) =\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\arctg\frac{-1}{2x+3}}{\frac{-1}{2x+3}}\cdot\frac{-x}{2x+3}\right) =-\frac{1}{2}. [/dmath]

Ответ

[math]-\frac{1}{2}[/math]