№0388 (1)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №388 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\tg^2{x}\left(\sqrt{2\sin^2{x}+3\sin{x}+4}-\sqrt{\sin^2{x}+6\sin{x}+2}\right)[/math].

Решение

[dmath] \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\tg^2{x}\left(\sqrt{2\sin^2{x}+3\sin{x}+4}-\sqrt{\sin^2{x}+6\sin{x}+2}\right)=\\ =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}\cdot\frac{\left(\sqrt{2\sin^2{x}+3\sin{x}+4}-\sqrt{\sin^2{x}+6\sin{x}+2}\right)\cdot\left(\sqrt{2\sin^2{x}+3\sin{x}+4}+\sqrt{\sin^2{x}+6\sin{x}+2}\right)}{\sqrt{2\sin^2{x}+3\sin{x}+4}+\sqrt{\sin^2{x}+6\sin{x}+2}}\right)=\\ =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}\cdot\left(\sin^2{x}-3\sin{x}+2\right)}{\cos^2{x}\cdot\left(\sqrt{2\sin^2{x}+3\sin{x}+4}+\sqrt{\sin^2{x}+6\sin{x}+2}\right)} =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}\cdot(\sin{x}-1)(\sin{x}-2)}{-(\sin{x}-1)(\sin{x}+1)\cdot\left(\sqrt{2\sin^2{x}+3\sin{x}+4}+\sqrt{\sin^2{x}+6\sin{x}+2}\right)}=\\ =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}\cdot(\sin{x}-2)}{-(\sin{x}+1)\cdot\left(\sqrt{2\sin^2{x}+3\sin{x}+4}+\sqrt{\sin^2{x}+6\sin{x}+2}\right)} =\frac{1}{12}. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{1}{12}[/math]