№0387 (1)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №387 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{h\to{0}}\frac{\sin(a+3h)-3\sin(a+2h)+3\sin(a+h)-\sin{a}}{h^3}[/math].

Решение

Сразу докажем вспомогательное равенство, чтобы не делать громоздких записей впоследствии. Так как [math]\sin{3z}=3\cos^2{z}\sin{z}-\sin^3{z}[/math], то получим:

[dmath] \sin\frac{3h}{2}-3\sin\frac{h}{2} =3\cos^2\frac{h}{2}\sin\frac{h}{2}-\sin^3\frac{h}{2}-3\sin\frac{h}{2}=\\ =\sin\frac{h}{2}\cdot\left(3\cos^2\frac{h}{2}-\sin^2\frac{h}{2}-3\right) =-4\sin^3\frac{h}{2}. [/dmath]

Возвращаясь к заданному пределу, получим:

[dmath] \lim_{h\to{0}}\frac{\sin(a+3h)-3\sin(a+2h)+3\sin(a+h)-\sin{a}}{h^3} =\lim_{h\to{0}}\frac{\sin(a+3h)-\sin{a}-3\left(\sin(a+2h)-\sin(a+h)\right)}{h^3}=\\ =\lim_{h\to{0}}\frac{2\cos\frac{2a+3h}{2}\cdot\left(\sin\frac{3h}{2}-3\sin\frac{h}{2}\right)}{h^3} =\lim_{h\to{0}}\frac{-8\sin^3\frac{h}{2}\cos\frac{2a+3h}{2}}{h^3} =\lim_{h\to{0}}\left(-\left(\frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right)^3\cdot\cos\frac{2a+3h}{2}\right) =-\cos{a}. [/dmath]

Ответ

[math]-\cos{a}[/math]