№0379 (1)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №379 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^n}{x^n+A}[/math]. Отдельно рассмотреть случаи, когда [math]n[/math] есть:

  1. целое положительное число;
  2. целое отрицательное число;
  3. нуль.

Решение

Пункт №1

Если [math]n\in{N}[/math], то получим:

[dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^n}{x^n+A} =\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a+\frac{1}{x^n}\right)^n}{1+\frac{A}{x^n}} =a^n. [/dmath]

Пункт №2

Обозначим [math]k=|n|[/math], тогда [math]n=-k[/math], [math]k\in{N}[/math].

[dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^n}{x^n+A} =\lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^{-k}}{x^{-k}+A} =\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)} [/dmath]

Рассмотрим 4 случая различных комбинаций значений параметров [math]a[/math] и [math]A[/math].

Если [math]a=0[/math], [math]A=0[/math], то получим: [dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)} =\lim_{x\to\infty}x^k =\infty. [/dmath]

Если [math]a=0[/math], [math]A\neq{0}[/math], то получим: [dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)} =\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{1+Ax^k} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{x^k}+A} =\frac{1}{A}. [/dmath]

Если [math]a\neq{0}[/math], [math]A=0[/math], то получим: [dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)} =\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\left(a+\frac{1}{x}\right)^k} =\frac{1}{a^k} =a^n. [/dmath]

Если [math]a\neq{0}[/math], [math]A\neq{0}[/math], то получим: [dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{(ax+1)^k\cdot\left(\frac{1}{x^k}+A\right)} =0. [/dmath]

Пункт №2

Если [math]n=0[/math], то получим:

[dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^n}{x^n+A} =\frac{1}{1+A}. [/dmath]

Ответ

Задача решена.