№0311 (1)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №311 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt{x^2-2x-1}-\sqrt{x^2-7x+3}\right)[/math].

Решение

[math] \lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt{x^2-2x-1}-\sqrt{x^2-7x+3}\right)=\\ = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2-2x-1}-\sqrt{x^2-7x+3}\right)\cdot\left(\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3}\right)}{\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3}} = \\ = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x-4}{\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3}} [/math]

Рассмотрим два случая: [math]x\to-\infty[/math] и [math]x\to+\infty[/math]:

[math] \lim_{x\to-\infty}\frac{5x-4}{\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3}} =\lim_{x\to-\infty}\frac{5-\frac{4}{x}}{-\sqrt{1-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}-\sqrt{1-\frac{7}{x}+\frac{3}{x^2}}} =-\frac{5}{2}. [/math]

[math] \lim_{x\to+\infty}\frac{5x-4}{\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{5-\frac{4}{x}}{\sqrt{1-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{7}{x}+\frac{3}{x^2}}} =\frac{5}{2}. [/math]

Ответ

[math]-\frac{5}{2}[/math] при [math]x\to-\infty[/math]; [math]\frac{5}{2}[/math] при [math]x\to+\infty[/math].