№0305 (1)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №305 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Как изменяются корни квадратного уравнения [math]ax^2+bx+c=0[/math], когда [math]b[/math] и [math]c[/math] сохраняют постоянные значения ([math]b\neq{0}[/math]), а величина [math]a[/math] стремится к нулю?

Решение

Рассмотрим вспомогательный предел:

[math] \lim_{a\to{0}}\frac{|b|-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{a\to{0}}\frac{\left(|b|-\sqrt{b^2-4ac}\right)\cdot\left(|b|+\sqrt{b^2-4ac}\right)}{2a\cdot\left(|b|+\sqrt{b^2-4ac}\right)} =\lim_{a\to{0}}\frac{2c}{|b|+\sqrt{b^2-4ac}} =\frac{c}{|b|}. [/math]


Пусть [math]b<0[/math], тогда получим:

[math] \begin{aligned} & x_1=\frac{|b|-\sqrt{b^2-4ac}}{2a};\;x_2=\frac{|b|+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\\ & \lim_{a\to{0}}x_1=\frac{c}{|b|}=-\frac{c}{b};\;\lim_{a\to{0}}x_2=\infty. \end{aligned} [/math]

Пусть [math]b>0[/math], тогда получим:

[math] \begin{aligned} & x_1=\frac{-|b|-\sqrt{b^2-4ac}}{2a};\;x_2=\frac{-|b|+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{|b|-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\\ & \lim_{a\to{0}}x_1=\infty;\;\lim_{a\to{0}}x_2=-\frac{c}{|b|}=-\frac{c}{b}. \end{aligned} [/math]

Ответ

Один из корней стремится к [math]-\frac{c}{b}[/math], другой – к бесконечности.