№0265 (1)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №265 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность." книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{1\cdot{3}}+\frac{1}{3\cdot{5}}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right)[/math].

Решение

[math] \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{1\cdot{3}}+\frac{1}{3\cdot{5}}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right) =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4n+2}\right) =\frac{1}{2}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{2}[/math]