№0056 (1)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №56 параграфа №2 главы №1 "Функции" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать, что [math]f(x)+f(-x)[/math] - чётная функция, а [math]f(x)-f(-x)[/math] - нечётная функция.

Решение

Обозначим [math]F(x)=f(x)+f(-x)[/math], [math]G(x)=f(x)-f(-x)[/math]. Пусть функция [math]f(x)[/math] определена на некоем множестве [math]X[/math]. Для любого [math]x\in{X}[/math] имеем [math]-x\in{X}[/math] (иначе выражение [math]f(x)+f(-x)[/math] не имело бы смысла), т.е. область определения функции [math]f(x)[/math] симметрична относительно нуля. Функции [math]F(x)[/math] и [math]G(x)[/math] определены на том же множестве [math]X[/math].

[math]F(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(-x)+f(x)=F(x)[/math]

[math]G(-x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=-\left(f(x)-f(-x)\right)=-G(x)[/math]

Так как область определения функций [math]F(x)[/math] и [math]G(x)[/math] симметрична относительно нуля, при этом [math]F(-x)=F(x)[/math], [math]G(-x)=-G(x)[/math], то функция [math]F(x)[/math] является чётной, а функция [math]G(x)[/math] - нечётной.

Ответ

Утверждение доказано.