№0048 (1)
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №48 параграфа №2 главы №1 "Функции" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти области определения данных функций.

  1. [math]y=\frac{1}{\lg(1-x)}+\sqrt{x+2}[/math]
  2. [math]y=\sqrt{3-x}+\arcsin\frac{3-2x}{5}[/math]
  3. [math]y=\arcsin\frac{x-3}{2}-\lg(4-x)[/math]
  4. [math]y=\sqrt{x}+\sqrt[3]{\frac{1}{x-2}}-\lg(2x-3)[/math]
  5. [math]y=\sqrt{x-1}+2\sqrt{1-x}+\sqrt{x^2+1}[/math]
  6. [math]y=\frac{3}{4-x^2}+\lg\left(x^3-x\right)[/math]
  7. [math]y=\lg\sin(x-3)+\sqrt{16-x^2}[/math]
  8. [math]y=\sqrt{\sin{x}}+\sqrt{16-x^2}[/math]
  9. [math]y=\frac{1}{\sqrt{\sin{x}}}+\sqrt[3]{\sin{x}}[/math]
  10. [math]\lg\frac{x-5}{x^2-10x+24}-\sqrt[3]{x+5}[/math]
  11. [math]y=\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}+\sqrt{\frac{1-x}{\sqrt{1+x}}}[/math]
  12. [math]y=\sqrt{x^2-3x+2}+\frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}}[/math]
  13. [math]y=\left(x^2+x+1\right)^{-\frac{3}{2}}[/math]
  14. [math]y=\lg\left(\sqrt{x-4}+\sqrt{6-x}\right)[/math]
  15. [math]y=\lg\left(1-\lg\left(x^2-5x+16\right)\right)[/math]

Решение

Пункт №1

[math] \left\{\begin{aligned} & 1-x\gt{0};\\ & 1-x\neq{1};\\ & x+2\ge{0}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & x\lt{1};\\ & x\neq{0};\\ & x\ge{-2}. \end{aligned}\right. [/math]

Область определения: [math]D(y)=[-2;0)\cup(0;1)[/math].

Пункт №2

[math] \left\{\begin{aligned} & 3-x\ge{0};\\ & -1\le\frac{3-2x}{5}\le{1}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & x\le{3}\\ & -1\le{x}\le{4}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow -1\le{x}\le{3}. [/math]

Область определения: [math]D(y)=[-1;3][/math].

Пункт №3

[math] \left\{\begin{aligned} & 4-x\gt{0};\\ & -1\le\frac{x-3}{2}\le{1}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & x\lt{4}\\ & 1\le{x}\le{5}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow 1\le{x}\lt{4}. [/math]

Область определения: [math]D(y)=[1;4)[/math].

Пункт №4

[math] \left\{\begin{aligned} & x\ge{0};\\ & x-2\neq{0};\\ & 2x-3\gt{0}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & x\neq{2};\\ & x\gt\frac{3}{2}. \end{aligned}\right. [/math]

Область определения: [math]D(y)=\left(\frac{3}{2};2\right)\cup(2;+\infty)[/math].

Пункт №5

[math] \left\{\begin{aligned} & x-1\ge{0};\\ & 1-x\ge{0}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow x=1. [/math]

Область определения: [math]D(y)=\{1\}[/math].

Пункт №6

[math] \left\{\begin{aligned} & 4-x^2\neq{0};\\ & x^3-x\gt{0}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & x\neq{-2};\\ & x\neq{2};\\ & x(x-1)(x+1)\gt{0}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & x\neq{2};\\ & -1\lt{x}\lt{0};\\ & x\gt{1}. \end{aligned}\right. [/math]

Область определения: [math]D(y)=(-1;0)\cup(1;2)\cup(2;+\infty)[/math].

Пункт №7

[math] \left\{\begin{aligned} & \sin(x-3)\gt{0};\\ & 16-x^2\ge{0}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & 3+2\pi{n}\lt{x}\lt{3+\pi+2\pi{n}},\;n\in{Z};\\ & -4\le{x}\le{4}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &3-2\pi\lt{x}\lt{3-\pi};\\ & 3\lt{x}\le{4}. \end{aligned}\right. [/math]

Область определения: [math]D(y)=(3-2\pi;3-\pi)\cup(3;4][/math].

Пункт №8

[math] \left\{\begin{aligned} & \sin{x}\ge{0};\\ & 16-x^2\ge{0}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & 2\pi{n}\le{x}\le{\pi+2\pi{n}},\;n\in{Z};\\ & -4\le{x}\le{4}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &-4\le{x}\le{-\pi};\\ & 0\le{x}\le\pi. \end{aligned}\right. [/math]

Область определения: [math]D(y)=[-4;-\pi]\cup[0;\pi][/math].

Пункт №9

[math] \sin{x}\gt{0} \Leftrightarrow 2\pi{n}\lt{x}\lt{\pi+2\pi{n}},\;n\in{Z}. [/math]

Область определения: [math]D(y)=\bigcup\limits_{n\in{Z}}(2\pi{n};\pi+2\pi{n})[/math].

Пункт №10

[math] \frac{x-5}{x^2-10x+24}\gt{0} \Leftrightarrow (x-4)(x-5)(x-6)\gt{0}. [/math]

Область определения: [math]D(y)=(4;5)\cup(6;+\infty)[/math].

Пункт №11

[math] \left\{\begin{aligned} & \frac{x-2}{x+2}\ge{0};\\ & x+2\neq{0};\\ & \frac{1-x}{\sqrt{1+x}}\ge{0};\\ & 1+x\gt{0}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & \left[\begin{aligned}&x\ge{2};\\&x\lt{-2}.\end{aligned}\right.;\\ & -1\lt{x}\le{1}. \end{aligned}\right. [/math]

Область определения: [math]D(y)=\varnothing[/math].

Пункт №12

[math] \left\{\begin{aligned} & x^2-3x+2\ge{0};\\ & 3+2x-x^2\gt{0}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & \left[\begin{aligned}&x\le{1};\\&x\ge{2}.\end{aligned}\right.;\\ & -1\lt{x}\lt{3}. \end{aligned}\right. [/math]

Область определения: [math]D(y)=(-1;1]\cup[2;3)[/math].

Пункт №13

[math] x^2+x+1 =\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4} \gt{0} [/math]

Так как при любом [math]x\in{R}[/math] имеем [math]x^2+x+1\gt{0}[/math], то область определения [math]D(y)=(-\infty;+\infty)[/math].

Пункт №14

[math] \left\{\begin{aligned} & x-4\ge{0};\\ & 6-x\ge{0};\\ & \sqrt{x-4}+\sqrt{6-x}\gt{0}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & x\ge{4};\\ & x\le{6}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow 4\le{x}\le{6}. [/math]

Область определения: [math]D(y)=[4;6][/math].

Пункт №15

[math] \left\{\begin{aligned} & x^2-5x+16\gt{0};\\ & 1-\lg\left(x^2-5x+16\right)\gt{0}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow x^2-5x+6\lt{0} \Leftrightarrow 2\lt{x}\lt{3}. [/math]

Область определения: [math]D(y)=(2;3)[/math].

Ответ

Задача решена.