№0039 (1)

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №39 параграфа №1 главы №1 "Функции" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Показать, что при [math]x\gt{0}[/math] уравнение [math]y+|y|-x-|x|=0[/math] определяет функцию, графиком которой является биссектриса координатного угла, а при [math]x\le{0}[/math] данному уравнению удовлетворяют координаты всех точек третьего координатного угла (включая и его граничные точки).

Решение

При [math]x\gt{0}[/math] имеем [math]|x|=x[/math], поэтому получим:

[dmath] \left\{\begin{aligned} & y+|y|-x-|x|=0;\\ & x\gt{0}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & y+|y|=2x;\\ & x\gt{0}. \end{aligned}\right. [/dmath]

Так как [math]2x\gt{0}[/math], то и [math]y+|y|\gt{0}[/math], что возможно тогда и только тогда, когда [math]y\gt{0}[/math].

[dmath] \left\{\begin{aligned} & y+|y|=2x;\\ & x\gt{0}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & 2y=2x;\\ & x\gt{0}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & y=x;\\ & x\gt{0}. \end{aligned}\right. [/dmath]

Следовательно, при [math]x\gt{0}[/math] заданному уравнению удовлетворяют те и только те точки, которые принадлежат прямой [math]y=x[/math], т.е. биссектрисе первого координатного угла.


При [math]x\le{0}[/math] имеем [math]|x|=-x[/math].

[dmath] \left\{\begin{aligned} & y+|y|-x-|x|=0;\\ & x\le{0}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & y+|y|=0;\\ & x\le{0}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & y\le{0};\\ & x\le{0}. \end{aligned}\right. [/dmath]

Следовательно, при [math]x\le{0}[/math] заданному уравнению удовлетворяют те и только те точки, которые принадлежат третьему координатному углу (включая его граничные точки).

Ответ

Утверждение доказано.