№0027 (1)
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №27 параграфа №1 главы №1 "Функции" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

[math]f(x)=x+1[/math], [math]\varphi(x)=x-2[/math].

Решить уравнение [math]\left|f(x)+\varphi(x)\right|=\left|f(x)\right|+\left|\varphi(x)\right|[/math].

Решение

Сразу отмечу, что обе функции определены при [math]x\in{R}[/math]. Учитывая [math]|a|^2=a^2[/math] для любого [math]a\in{R}[/math], возводим обе части заданного равенства в квадрат:

[dmath] f^2(x)+2f(x)\varphi(x)+\varphi^2(x)=f^2(x)+2\left|f(x)\varphi(x)\right|+\varphi^2(x);\\ 2f(x)\varphi(x)=2\left|f(x)\varphi(x)\right|;\;f(x)\varphi(x)=\left|f(x)\varphi(x)\right|. [/dmath]

Решением полученного уравнения будет любое значение аргумента, для которого [math]f(x)\varphi(x)\ge{0}[/math]. Это означает, что либо оба сомножителя в выражении [math]f(x)\varphi(x)[/math] неположительны, либо же оба сомножителя неотрицательны.

[dmath] \left[ \begin{aligned} &\left\{ \begin{aligned} &x+1\le{0};\\ &x-2\le{0}. \end{aligned} \right.\\ &\left\{ \begin{aligned} &x+1\ge{0};\\ &x-2\ge{0}. \end{aligned} \right. \end{aligned} \right.;\;\; \left[ \begin{aligned} &x\le{-1};\\ &x\ge{2}. \end{aligned} \right. [/dmath]

Следовательно, решением заданного в условии уравнения будет любое значение [math]x\in(-\infty;-1]\cup[2;+\infty)[/math].

Ответ

[math]x\in(-\infty;-1]\cup[2;+\infty)[/math]