№0007 (1)
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №7 параграфа №1 главы №1 "Функции" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Выразить площадь равнобочной трапеции с основаниями [math]a[/math] и [math]b[/math] как функцию угла [math]\alpha[/math] при основании [math]a[/math]. Построить график функции при [math]a=2[/math], [math]b=1[/math].

Решение

Пусть, для определённости, [math]a\gt{b}[/math]. В этом случае угол [math]\alpha[/math] будет острым: [math]0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}[/math].

0007 (1) 1.png

Так как [math]AB=CD[/math] и [math]BM_1=CM_2=h[/math], то из равенства прямоугольных треугольников [math]\triangle{AM_1B}=\triangle{DM_2C}[/math] имеем [math]AM_1=M_2D=\frac{a-b}{2}[/math]. Следовательно, [math]h=\frac{a-b}{2}\cdot\tg\alpha[/math].

[dmath] S=\frac{a+b}{2}\cdot{h}=\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a-b}{2}\cdot\tg\alpha=\frac{a^2-b^2}{4}\cdot\tg\alpha. [/dmath]

Отмечу, что если [math]a\lt{b}[/math], то формула для вычисления площади будет такой же, однако угол [math]\alpha[/math] будет тупым: [math]\frac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\pi[/math]. Угол при большем основании, т.е. при [math]b[/math], будет равен [math]180-\alpha[/math], поэтому получим:

[dmath] S=\frac{a+b}{2}\cdot{h}=\frac{a+b}{2}\cdot\frac{b-a}{2}\cdot\tg(\pi-\alpha)=\frac{a^2-b^2}{4}\cdot\tg\alpha. [/dmath]

Итак, искомая функция такова: [math]S(\alpha)=\frac{a^2-b^2}{4}\cdot\tg\alpha[/math]. Если [math]a=2[/math], [math]b=1[/math], то [math]S(\alpha)=\frac{3}{4}\tg\alpha[/math]. При этом [math]0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}[/math].

График функции

Ответ

[math]S(\alpha)=\frac{a^2-b^2}{4}\cdot\tg\alpha[/math]