Задача №1861
Условие
\( \left\{\begin{aligned} & \frac{dx}{dt}=2x+y;\\ & \frac{dy}{dt}=3x+4y. \end{aligned}\right. \)
Решение
Из второго уравнения имеем: \(x=\frac{1}{3}\cdot\left(y'-4y\right)\). Дифференцируя по t обе части второго уравнения, будем иметь:
\[
y''=3x'+4y'=3\cdot(2x+y)+4y'=6x+3y+4y'=2\cdot(y'-4y)+3y+4y'=6y'-5y.\\
y''-6y'+5y=0.
\]
Составляя и решая характеристическое уравнение, будем иметь:
\[
k^2-6k+5=0;\\
D=16;\;k_1=1;\;k_2=5.
\]
Следовательно, \(y=C_1e^t+C_2e^{5t}\).
\[
x=\frac{1}{3}\cdot\left(C_1e^t+5C_2e^{5t}-4C_1e^t-4C_2e^{5t}\right)=-C_1e^t+\frac{C_2e^{5t}}{3}
\]
Ответ:
\(x=-C_1e^t+\frac{C_2e^{5t}}{3}\), \(y=C_1e^t+C_2e^{5t}\).