4324.2-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №4324.2 параграфа №5 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

[math] \left\{\begin{aligned} & \frac{dx}{dt}=2x+y;\\ & \frac{dy}{dt}=3x+4y. \end{aligned}\right. [/math]

Решение

Из второго уравнения имеем: [math]x=\frac{1}{3}\cdot\left(y'-4y\right)[/math]. Дифференцируя по t обе части второго уравнения, будем иметь:

[math] y''=3x'+4y'=3\cdot(2x+y)+4y'=6x+3y+4y'=2\cdot(y'-4y)+3y+4y'=6y'-5y.\\ y''-6y'+5y=0. [/math]

Составляя и решая характеристическое уравнение, будем иметь:

[math] k^2-6k+5=0;\\ D=16;\;k_1=1;\;k_2=5. [/math]

Следовательно, [math]y=C_1e^t+C_2e^{5t}[/math].

[math] x=\frac{1}{3}\cdot\left(C_1e^t+5C_2e^{5t}-4C_1e^t-4C_2e^{5t}\right)=-C_1e^t+\frac{C_2e^{5t}}{3} [/math]

Ответ

[math]x=-C_1e^t+\frac{C_2e^{5t}}{3}[/math]

[math]y=C_1e^t+C_2e^{5t}[/math]