Задача №1860
Условие
Найти общее решение уравнения \(y''-9y=0\).
Решение
Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим и решим характеристическое уравнение:
\[
k^2-9=0;\\
k_1=-3;\;k_2=3.
\]
Так как корни характеристического уравнения действительны и различны, то фундаментальная система решений такова:
\[y_1=e^{-3x};\; y_2=e^{3x}.\]
Общее решение будет таким:
\[y=C_1y_1+C_2y_2=C_1 e^{-3x}+C_2 e^{3x}\]
Ответ:
\(y=C_1 e^{-3x}+C_2 e^{3x}\)