4184-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №4184 параграфа №3 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Решить уравнение [math]xy''=y'\cdot\left(e^y-1\right)[/math].

Решение

Запишем это уравнение в таком виде: [math]xy''+y'=y'e^y[/math], что равносильно [math]\left(xy'\right)'=\left(e^y\right)'[/math], откуда [math]xy'=e^y-C_1[/math].


Рассмотрим случай [math]e^y-C_1=0[/math]. Если [math]C_1\gt{0}[/math], то [math]y=\ln{C_1}[/math]. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что функции [math]y=\ln{C_1}[/math] – решения уравнения [math]xy'=e^y-C_1[/math].


Пусть теперь [math]C_1=0[/math], тогда [math]xy'=e^y[/math], [math]e^{-y}dy=\frac{dx}{x}[/math], откуда [math]-e^{-y}=\ln|x|-C_2[/math], [math]y=-\ln\left(C_2-\ln|x|\right)[/math].


Рассмотрим случай [math]C_1\neq{0}[/math], при этом, если [math]C_1\gt{0}[/math], то [math]y\neq\ln{C_1}[/math]. Разделяя переменные в уравнении [math]xy'=e^y-C_1[/math], будем иметь:

[dmath] \frac{dy}{e^y-C_1}=\frac{dx}{x};\quad \frac{-e^{-y}dy}{C_1e^{-y}-1}=\frac{dx}{x}.\\ \frac{1}{C_1}\int\frac{d\left(C_1e^{-y}-1\right)}{C_1e^{-y}-1}=\int\frac{dx}{x};\quad \ln\left|C_1e^{-y}-1\right|=C_1\ln|x|+C_2. [/dmath]

Из полученного выражения имеем [math]C_1e^{-y}-1=\pm{e^{C_2}}\cdot{e^{C_1\ln|x|}}[/math]. Переобозначая [math]\pm{e^{C_2}}[/math] как [math]C_2[/math], где [math]C_2\in{R}\setminus\{0\}[/math], получим:

[dmath] y=-\ln\left(\frac{C_2}{C_1}e^{C_1\ln|x|}+\frac{1}{C_1}\right) [/dmath]

Решения [math]y=\ln{C_1}[/math], найденные ранее, можно получить из выражения [math]y=-\ln\left(\frac{C_2}{C_1}e^{C_1\ln|x|}+\frac{1}{C_1}\right)[/math] при [math]C_2=0[/math] и [math]C_1\gt{0}[/math]. Следовательно, условие [math]C_2\in{R}\setminus\{0\}[/math] можно изменить на [math]C_2\in{R}[/math].


Ответ

  • [math]y=-\ln\left(C-\ln|x|\right)[/math], [math]C\in{R}[/math]
  • [math]y=-\ln\left(\frac{C_2}{C_1}e^{C_1\ln|x|}+\frac{1}{C_1}\right)[/math]