4172-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №4172 параграфа №3 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти общее решение уравнения [math]yy''=\left(y'\right)^2[/math].

Решение

Замена: [math]y'=p(y)[/math], [math]y''=p'p[/math]:

[dmath] yp'p=p^2;\quad p\cdot\left(yp'-p\right)=0;\; \left[\begin{aligned} & p=0;\\ & yp'-p=0. \end{aligned}\right. [/dmath]

Функция [math]p=0[/math] является решением уравнения [math]yp'-p=0[/math], поэтому отдельно разбирать случай [math]p=0[/math] нет необходимости. Рассмотрим уравнение [math]yp'-p=0[/math]. При [math]p\neq{0}[/math] будем иметь:

[dmath] y\frac{dp}{dy}=p;\; \frac{dp}{p}=\frac{dy}{y}.\\ \int\frac{dp}{p}=\int\frac{dy}{y};\; \ln|p|=\ln|y|+\ln{C_1};\; |p|=C_1|y|;\; p=\pm{C_1}y. [/dmath]

Здесь [math]C_1\gt{0}[/math]. Переобозначая [math]\pm{C_1}[/math] как [math]C_1[/math], получим: [math]p=C_1y[/math], где [math]C_1\in{R}\setminus\{0\}[/math]. Решение [math]p=0[/math] можно получить из выражения [math]p=C_1y[/math] при [math]C_1=0[/math], поэтому условие [math]C_1\in{R}\setminus\{0\}[/math] можно изменить: [math]C_1\in{R}[/math].

Так как [math]p=y'[/math], то [math]y'=C_1y[/math]. Функция [math]y=0[/math] – решение данного уравнения. При [math]y\neq{0}[/math] получим:

[dmath] \frac{dy}{dx}=C_1y;\; \frac{dy}{y}=C_1dx;\; \int\frac{dy}{y}=C_1\int{dx}.\\ \ln|y|=C_1x+C_2;\; y=\pm{e}^{C_2}\cdot{e}^{C_1x}. [/dmath]

Переобозначая [math]\pm{e}^{C_2}[/math] как [math]C_2[/math], получим: [math]y=C_2{e}^{C_1x}[/math], где [math]C_2\in{R}\setminus\{0\}[/math]. Решение [math]y=0[/math] можно получить из выражения [math]y=C_2{e}^{C_1x}[/math] при [math]C_2=0[/math], поэтому условие [math]C_2\in{R}\setminus\{0\}[/math] можно изменить: [math]C_2\in{R}[/math].


Ответ

[math]y=C_2{e}^{C_1x}[/math]