4171-1

Информация о задаче

Задача №4171 параграфа №3 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти общее решение уравнения [math]yy''+\left(y'\right)^2=1[/math].

Решение

Так как [math]\left(yy'\right)'=yy''+\left(y'\right)^2[/math], то получим:

[dmath] \left(yy'\right)'=1;\; yy'=x+C_1;\; ydy=\left(x+C_1\right)dx.\\ \int{y}dy=\int\left(x+C_1\right)dx;\; \frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C_1x+C_2. [/dmath]

Домножая обе части последнего равенства на 2 и переобозначая константы, получим:

[dmath] y^2=x^2+C_1x+C_2;\; x^2-y^2+C_1x+C_2=0. [/dmath]

Ответ

[math]x^2-y^2+C_1x+C_2=0[/math]