Задача №1856
Условие
Найти общее решение уравнения \(yy''+\left(y'\right)^2=1\).
Решение
Так как \(\left(yy'\right)'=yy''+\left(y'\right)^2\), то получим:
\[
\left(yy'\right)'=1;\;
yy'=x+C_1;\;
ydy=\left(x+C_1\right)dx.\\
\int{y}dy=\int\left(x+C_1\right)dx;\;
\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C_1x+C_2.
\]
Домножая обе части последнего равенства на 2 и переобозначая константы, получим:
\[
y^2=x^2+C_1x+C_2;\;
x^2-y^2+C_1x+C_2=0.
\]
Ответ:
\(x^2-y^2+C_1x+C_2=0\)