4158-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №4158 параграфа №3 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти общее решение уравнения [math]xy''=y'[/math].

Решение

Замена [math]y'=p(x)[/math], [math]y''=p'[/math] приводит к уравнению [math]xp'=p[/math]. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что [math]p=0[/math] – решение полученного уравнения. При условии [math]p\neq{0}[/math] разделяем переменные и интегрируем:

[dmath] x\frac{dp}{dx}=p;\;\frac{dp}{p}=\frac{dx}{x}.\\ \int\frac{dp}{p}=\int\frac{dx}{x};\;\ln|p|=\ln|x|+\ln\overline{C}_1;\;\overline{C}_1\gt{0}. [/dmath]

Из последнего равенства имеем [math]|p|=\overline{C}_1\cdot|x|[/math], т.е. [math]p=\pm\overline{C}_1{x}[/math]. Переобозначая [math]\pm\overline{C}_1[/math] как [math]C_1[/math], где [math]C_1\in{R}\setminus\{0\}[/math], получим [math]p=C_1x[/math].

Решение [math]p=0[/math], найденное ранее, можно получить из выражения [math]p=C_1x[/math] при [math]C_1=0[/math]. Следовательно, условие [math]C_1\in{R}\setminus\{0\}[/math] можно изменить, приняв [math]C_1\in{R}[/math].

Итак, [math]p=C_1x[/math], где [math]C_1\in{R}[/math]. Вспоминая, что [math]y'=p[/math], получим:

[dmath] y'=C_1x;\;y=C_1\int{x}dx=\frac{C_1x^2}{2}+C_2. [/dmath]

Переобозначая [math]\frac{C_1}{2}[/math] как [math]C_1[/math], получим общее решение: [math]y=C_1x^2+C_2[/math].

Ответ

[math]y=C_1x^2+C_2[/math]