4156-1
Информация о задаче
Задача №4156 параграфа №3 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти общее решение уравнения [math]y''=\arctg{x}[/math].
Решение
Используем результат задачи 1956-1:
[dmath] y=\int\arctg{x}\,dx =x\arctg{x}-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C_1 [/dmath]
Далее используем результаты задач 1837-1 и 1846-1:
[dmath] y=\int\left(x\arctg{x}\right)dx-\frac{1}{2}\int\ln\left(x^2+1\right)dx+C_1x=\\ =\frac{\left(x^2+1\right)\arctg{x}}{2}-\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\ln\left(x^2+1\right)+x-\arctg{x}+C_1x+C_2 =\frac{\left(x^2-1\right)\arctg{x}}{2}-\frac{x}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C_1x+C_2 [/dmath]
В последнем действии выражение [math]C_1+\frac{1}{2}[/math] было переобозначено как [math]C_1[/math].
Ответ
[math]y=\frac{\left(x^2-1\right)\arctg{x}}{2}-\frac{x}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C_1x+C_2[/math]
