4156-1

Информация о задаче

Задача №4156 параграфа №3 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти общее решение уравнения [math]y''=\arctg{x}[/math].

Решение

Используем результат задачи 1956-1:

[dmath] y=\int\arctg{x}\,dx =x\arctg{x}-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C_1 [/dmath]

Далее используем результаты задач 1837-1 и 1846-1:

[dmath] y=\int\left(x\arctg{x}\right)dx-\frac{1}{2}\int\ln\left(x^2+1\right)dx+C_1x=\\ =\frac{\left(x^2+1\right)\arctg{x}}{2}-\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\ln\left(x^2+1\right)+x-\arctg{x}+C_1x+C_2 =\frac{\left(x^2-1\right)\arctg{x}}{2}-\frac{x}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C_1x+C_2 [/dmath]

В последнем действии выражение [math]C_1+\frac{1}{2}[/math] было переобозначено как [math]C_1[/math].

Ответ

[math]y=\frac{\left(x^2-1\right)\arctg{x}}{2}-\frac{x}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C_1x+C_2[/math]

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Отблагодарить автора и помочь проекту "Решебник" можно тут:

• ЮMoney: 41001470069426
• WebMoney: Z207266121363

Собранные средства расходуются на поддержание работы сайта (доменное имя, хостинг и т.д.).