Задача №1854
Условие
Найти общее решение уравнения \(y''=\arctg{x}\).
Решение
Используем результат задачи 1513:
\[
y=\int\arctg{x}\,dx
=x\arctg{x}-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C_1
\]
Далее используем результаты задач 1394 и 1403:
\[
y=\int\left(x\arctg{x}\right)dx-\frac{1}{2}\int\ln\left(x^2+1\right)dx+C_1x=\\
=\frac{\left(x^2+1\right)\arctg{x}}{2}-\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\ln\left(x^2+1\right)+x-\arctg{x}+C_1x+C_2=\\
=\frac{\left(x^2-1\right)\arctg{x}}{2}-\frac{x}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C_1x+C_2
\]
В последнем действии выражение \(C_1+\frac{1}{2}\) было переобозначено как \(C_1\).
Ответ:
\(y=\frac{\left(x^2-1\right)\arctg{x}}{2}-\frac{x}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C_1x+C_2\)