4109-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №4109 параграфа №2 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти несколько первых членов разложения в степенной ряд решения уравнения [math]y'=y^3-x[/math] при указанном начальном условии: [math]y(0)=1[/math].

Решение

[math]y'=y^3-x[/math], [math]y'(0)=1^3-0=1[/math].

[math]y''=3y^2y'-1[/math], [math]y''(0)=3\cdot{1^2}\cdot{1}-1=2[/math].

[math]y'''=6y(y')^2+3y^2y''[/math], [math]y'''(0)=6\cdot{1}\cdot{1^2}+3\cdot{1^2}\cdot{2}=12[/math].

[math]y^{(4)}=6(y')^3+6y\cdot{2y'}\cdot{y''}+6y\cdot{y'}\cdot{y''}+3y^2\cdot{y'''}=6(y')^3+18yy'y''+3y^2y'''[/math], [math]y^{(4)}(0)=6+36+36=78[/math].

[math] y(x)=1+\frac{1\cdot{x^1}}{1!}+\frac{2\cdot{x^2}}{2!}+\frac{12\cdot{x^3}}{3!}+\frac{78\cdot{x^4}}{4!} =1+x+x^2+2x^3+\frac{13x^4}{4}+... [/math]

Ответ

[math]y(x)=1+x+x^2+2x^3+\frac{13x^4}{4}+...[/math]