3958-1

Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №3958 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти общее решение уравнения [math]y'+y=\cos{x}[/math].

Решение

Заданное уравнение имеет вид [math]y'+p(x)y=q(x)[/math], где [math]p(x)=1[/math], [math]q(x)=\cos{x}[/math], поэтому это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Функции [math]p(x)[/math] и [math]q(x)[/math] непрерывны при [math]x\in{R}[/math].

Решение данного уравнения ищем в виде произведения двух функций: [math]y(x)=u(x)\cdot{v(x)}[/math]. Так как [math]y=uv[/math], то [math]y'=u'v+uv'[/math]. Заданное уравнение примет такой вид:

[dmath] u'v+uv'+uv=\cos{x}; [/dmath]

[dmath] \begin{equation} u'v+u\cdot\left(v'+v\right)=\cos{x}. \tag{✳}\label{eq:1} \end{equation} [/dmath]

В качестве функции [math]v[/math] возьмём произвольное ненулевое частное решение уравнения [math]v'+v=0[/math]. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

[dmath] v'=-v;\quad \frac{dv}{dx}=-v;\quad \frac{dv}{v}=-dx.\\ \int\frac{dv}{v}=-\int\,dx;\quad \ln|v|=-x+C. [/dmath]

Принимая [math]C=0[/math], получим [math]|v|=e^{-x}[/math], откуда [math]v=-e^{-x}[/math] или [math]v=e^{-x}[/math]. Для дальнейших преобразований можно взять любую из полученных функций. Выберем [math]v=e^{-x}[/math].

Подставляем [math]v=e^{-x}[/math] в уравнение [math]\eqref{eq:1}[/math], учитывая при этом, что [math]v'+v=0[/math]:

[dmath] u'\cdot{e^{-x}}=\cos{x};\quad u'=e^{x}\cos{x}.\\ u=\int{e^{x}\cos{x}}dx =\frac{e^x\left(\sin{x}+\cos{x}\right)}{2}+C. [/dmath]

Посмотреть, как именно вычисляется указанный выше интеграл, можно в задаче 1862-1.

Общее решение исходного дифференциального уравнения будет таким:

[dmath] y =uv =\left(\frac{e^x\left(\sin{x}+\cos{x}\right)}{2}+C\right)\cdot{e^{-x}} =\frac{\sin{x}+\cos{x}}{2}+Ce^{-x}. [/dmath]

Ответ

[math]y=Ce^{-x}+\frac{\sin{x}+\cos{x}}{2}[/math]