Задача №1851

Заданное уравнение имеет вид \(y'+p(x)y=q(x)\), где \(p(x)=1\), \(q(x)=\cos{x}\), поэтому это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Функции \(p(x)\) и \(q(x)\) непрерывны при \(x\in{R}\).

Решение данного уравнения ищем в виде произведения двух функций: \(y(x)=u(x)\cdot{v(x)}\). Так как \(y=uv\), то \(y'=u'v+uv'\). Заданное уравнение примет такой вид:

В качестве функции \(v\) возьмём произвольное ненулевое частное решение уравнения \(v'+v=0\). Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

Принимая \(C=0\), получим \(|v|=e^{-x}\), откуда \(v=-e^{-x}\) или \(v=e^{-x}\). Для дальнейших преобразований можно взять любую из полученных функций. Выберем \(v=e^{-x}\).

Подставляем \(v=e^{-x}\) в уравнение \(\eqref{eq:1}\), учитывая при этом, что \(v'+v=0\):

Посмотреть, как именно вычисляется указанный выше интеграл, можно в задаче 1419.

Общее решение исходного дифференциального уравнения будет таким: