3955-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №3955 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти общее решение уравнения [math]y'+2xy=xe^{-x^2}[/math].

Решение

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Полагая [math]y=uv[/math], получим [math]y'=u'v+uv'[/math]:

[dmath] u'v+uv'+2xuv=xe^{-x^2};\;u'v+u\cdot\left(v'+2xv\right)=xe^{-x^2}.\\ v'+2xv=0;\;\frac{dv}{dx}=-2xv;\;\frac{dv}{v}=-2xdx;\;\ln|v|=-x^2;\;v=e^{-x^2}.\\ u'e^{-x^2}=xe^{-x^2};\;u'=x;\;u=\int{xdx}=\frac{x^2}{2}+C.\\ y=uv=\left(\frac{x^2}{2}+C\right)e^{-x^2}. [/dmath]

Ответ

[math]y=\left(\frac{x^2}{2}+C\right)e^{-x^2}[/math]