3954-1

Информация о задаче

Задача №3954 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти общее решение уравнения [math]y'+2y=4x[/math].

Решение

Заданное уравнение имеет вид [math]y'+p(x)y=q(x)[/math], где [math]p(x)=2[/math], [math]q(x)=4x[/math], поэтому это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Функции [math]p(x)[/math] и [math]q(x)[/math] непрерывны при [math]x\in{R}[/math].

Решение данного уравнения ищем в виде произведения двух функций: [math]y(x)=u(x)\cdot{v(x)}[/math]. Так как [math]y=uv[/math], то [math]y'=u'v+uv'[/math]. Заданное уравнение примет такой вид:

[dmath] u'v+uv'+2uv=4x; [/dmath]

[dmath] \begin{equation} u'v+u\cdot\left(v'+2v\right)=4x. \tag{✳}\label{eq:1} \end{equation} [/dmath]

В качестве функции [math]v[/math] возьмём произвольное ненулевое частное решение уравнения [math]v'+2v=0[/math]. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

[dmath] v'=-2v;\quad \frac{dv}{dx}=-2v;\quad \frac{dv}{v}=-2dx.\\ \int\frac{dv}{v}=-2\int\,dx;\quad \ln|v|=-2x+C. [/dmath]

Принимая [math]C=0[/math], получим [math]|v|=e^{-2x}[/math], откуда [math]v=-e^{-2x}[/math] или [math]v=e^{-2x}[/math]. Для дальнейших преобразований можно взять любую из полученных функций. Выберем [math]v=e^{-2x}[/math].

Подставляем [math]v=e^{-2x}[/math] в уравнение [math]\eqref{eq:1}[/math], учитывая при этом, что [math]v'+2v=0[/math]:

[dmath] u'\cdot{e^{-2x}}=4x;\quad u'=4x e^{2x}.\\ u=4\int{xe^{2x}}dx =\left[\begin{aligned} & u=x;\;du=dx;\\ & dv=e^{2x}dx;\;v=\frac{1}{2}e^{2x}. \end{aligned}\right] =2xe^{2x}-e^{2x}+C. [/dmath]

Общее решение исходного дифференциального уравнения будет таким:

[dmath] y =uv =\left(2xe^{2x}-e^{2x}+C\right)\cdot{e^{-2x}} =C\cdot{e^{-2x}}+2x-1. [/dmath]

Ответ

[math]y=C\cdot{e^{-2x}}+2x-1[/math]