3942-1
Информация о задаче
Задача №3942 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти общее решение уравнения [math]xy'=y\ln\frac{y}{x}[/math].
Решение
[dmath] y'=\frac{y}{x}\ln\frac{y}{x} [/dmath]
Это однородное дифференциальное уравнение. Осуществляя замену [math]y=ux[/math], [math]y=u'x+u[/math], получим:
[dmath] u'x+u=u\ln{u};\; x\frac{du}{dx}=u\left(\ln{u}-1\right). [/dmath]
Здесь [math]u\gt{0}[/math]. Из равенства [math]\ln{u}-1=0[/math] имеем [math]u=1[/math]. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что [math]u=1[/math] – решение уравнения [math]x\frac{du}{dx}=u\left(\ln{u}-1\right)[/math]. При условии [math]u\neq{0}[/math] разделяем переменные и интегрируем:
[dmath]
\frac{du}{u\left(\ln{u}-1\right)}=\frac{dx}{x};\;
\int\frac{d\left(\ln{u}-1\right)}{\left(\ln{u}-1\right)}=\int\frac{dx}{x}.\\
\ln\left|\ln{u}-1\right|=\ln|x|+\ln{C};\;
\ln\left|\ln{u}-1\right|=\ln\left(C|x|\right);\;
\left|\ln{u}-1\right|=C|x|.
[/dmath]
Здесь [math]C\gt{0}[/math]. Из последнего равенства имеем [math]\ln{u}-1=\pm{C}x[/math]. Переобозначая [math]\pm{C}[/math] как [math]C[/math], где [math]C\in{R}\setminus\{0\}[/math], получим:
[dmath] \ln{u}=Cx+1;\; u=e^{Cx+1}. [/dmath]
Решение [math]u=1[/math], найденное ранее, можно получить из выражения [math]u=e^{Cx+1}[/math] при [math]C=0[/math]. Значит, условие [math]C\in{R}\setminus\{0\}[/math] можно изменить, приняв [math]C\in{R}[/math]. Далее, так как [math]u=\frac{y}{x}[/math], то будем иметь:
[dmath] \frac{y}{x}=e^{Cx+1};\; y=xe^{Cx+1}. [/dmath]
Ответ
[math]y=xe^{Cx+1}[/math].
