Задача №1848
Условие
Найти общее решение уравнения \(xy'=y\ln\frac{y}{x}\).
Решение
\[
y'=\frac{y}{x}\ln\frac{y}{x}
\]
Это однородное дифференциальное уравнение. Осуществляя замену \(y=ux\), \(y=u'x+u\), получим:
\[
u'x+u=u\ln{u};\;
x\frac{du}{dx}=u\left(\ln{u}-1\right).
\]
Здесь \(u\gt{0}\). Из равенства \(\ln{u}-1=0\) имеем \(u=1\). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что \(u=1\) – решение уравнения \(x\frac{du}{dx}=u\left(\ln{u}-1\right)\). При условии \(u\neq{0}\) разделяем переменные и интегрируем:
\[
\frac{du}{u\left(\ln{u}-1\right)}=\frac{dx}{x};\;
\int\frac{d\left(\ln{u}-1\right)}{\left(\ln{u}-1\right)}=\int\frac{dx}{x}.\\
\ln\left|\ln{u}-1\right|=\ln|x|+\ln{C};\;
\ln\left|\ln{u}-1\right|=\ln\left(C|x|\right);\;
\left|\ln{u}-1\right|=C|x|.
\]
Здесь \(C\gt{0}\). Из последнего равенства имеем \(\ln{u}-1=\pm{C}x\). Переобозначая \(\pm{C}\) как \(C\), где \(C\in{R}\setminus\{0\}\), получим:
\[
\ln{u}=Cx+1;\;
u=e^{Cx+1}.
\]
Решение \(u=1\), найденное ранее, можно получить из выражения \(u=e^{Cx+1}\) при \(C=0\). Значит, условие \(C\in{R}\setminus\{0\}\) можно изменить, приняв \(C\in{R}\). Далее, так как \(u=\frac{y}{x}\), то будем иметь:
\[
\frac{y}{x}=e^{Cx+1};\;
y=xe^{Cx+1}.
\]
Ответ:
\(y=xe^{Cx+1}\).