3941-1

Информация о задаче

Задача №3941 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти общее решение уравнения [math]y'=e^{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}[/math].

Решение

Это однородное дифференциальное уравнение. Осуществляя замену [math]y=ux[/math], [math]y=u'x+u[/math], получим:

[math] u'x+u=e^u+u;\; x\frac{du}{dx}=e^u;\; e^{-u}du=\frac{dx}{x}. [/math]

[math] \int{e}^{-u}du=\int\frac{dx}{x};\\ -e^{-u}=\ln|x|-C;\; e^{-\frac{y}{x}}=C-\ln|x|;\; y=-x\ln\left(C-\ln|x|\right). [/math]

Ответ

[math]y=-x\ln\left(C-\ln|x|\right)[/math].