3941-1
Реклама
Материал из Решебника
Информация о задаче
Задача №3941 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти общее решение уравнения [math]y'=e^{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}[/math].
Решение
Это однородное дифференциальное уравнение. Осуществляя замену [math]y=ux[/math], [math]y=u'x+u[/math], получим:
[dmath] u'x+u=e^u+u;\; x\frac{du}{dx}=e^u;\; e^{-u}du=\frac{dx}{x}. [/dmath]
[dmath]
\int{e}^{-u}du=\int\frac{dx}{x};\\
-e^{-u}=\ln|x|-C;\;
e^{-\frac{y}{x}}=C-\ln|x|;\;
y=-x\ln\left(C-\ln|x|\right).
[/dmath]
Ответ
[math]y=-x\ln\left(C-\ln|x|\right)[/math].
Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).