Задача №1846
Условие
Найти общее решение уравнения \(y'=\frac{x+y}{x-y}\).
Решение
Осуществляя замену \(y=ux\), \(y=u'x+u\), получим:
\[
u'x+u=\frac{1+u}{1-u};\;
x\frac{du}{dx}=\frac{1+u^2}{1-u};\;
\frac{1-u}{1+u^2}du=\frac{dx}{x}.
\]
\[
\int\left(\frac{1}{1+u^2}-\frac{u}{1+u^2}\right)du=\int\frac{dx}{x};\;\\
\arctg{u}-\frac{1}{2}\ln\left(1+u^2\right)=\ln|x|+\frac{1}{2}C;\;
2\arctg\frac{y}{x}-\ln\left(x^2+y^2\right)=C.
\]
Ответ:
\(2\arctg\frac{y}{x}-\ln\left(x^2+y^2\right)=C\).