3935-1

Информация о задаче

Задача №3935 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти общее решение уравнения [math]y'=\frac{x+y}{x-y}[/math].

Решение

Осуществляя замену [math]y=ux[/math], [math]y=u'x+u[/math], получим:

[math] u'x+u=\frac{1+u}{1-u};\; x\frac{du}{dx}=\frac{1+u^2}{1-u};\; \frac{1-u}{1+u^2}du=\frac{dx}{x}. [/math]

[math] \int\left(\frac{1}{1+u^2}-\frac{u}{1+u^2}\right)du=\int\frac{dx}{x};\;\\ \arctg{u}-\frac{1}{2}\ln\left(1+u^2\right)=\ln|x|+\frac{1}{2}C;\; 2\arctg\frac{y}{x}-\ln\left(x^2+y^2\right)=C. [/math]

Ответ

[math]2\arctg\frac{y}{x}-\ln\left(x^2+y^2\right)=C[/math].