3934-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №3934 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти общее решение уравнения [math]y'=\frac{y^2}{x^2}-2[/math].

Решение

Осуществляя замену [math]y=ux[/math], [math]y=u'x+u[/math], получим:

[math] u'x+u=u^2-2;\; xdu=\left(u^2-u-2\right)dx. [/math]

Рассмотрим случай [math]u^2-u-2=0[/math], т.е. [math]u=-1[/math] или [math]u=2[/math]. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что данные функции являются решениями уравнения [math]xdu=\left(u^2-u-2\right)dx[/math]. Соответственно, функции [math]y=-x[/math] и [math]y=2x[/math] – решения исходного уравнения.

Исключая варианты [math]u=-1[/math], [math]u=2[/math] и полагая [math]C_1>{0}[/math], получим:

[math] \int\frac{d\left(u-\frac{1}{2}\right)}{\left(u-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}}=\int\frac{dx}{x};\; \frac{1}{3}\ln\left|\frac{u-2}{u+1}\right|=\ln|x|+\frac{1}{3}\ln{C_1};\\ \ln\left|\frac{u-2}{u+1}\right|=\ln\left(C_1\left|x^3\right|\right);\; \left|\frac{u-2}{u+1}\right|=C_1\left|x^3\right|. [/math]

Раскрывая модули и переобозначая [math]C=\pm{C_1}[/math], [math]C\neq{0}[/math], получим:

[math] \frac{u-2}{u+1}=Cx^3;\; \frac{y-2x}{y+x}=Cx^3;\; y=\frac{Cx^4+2x}{1-Cx^3}. [/math]

Полагая [math]C=0[/math] в найденном выражении, получим [math]y=2x[/math].

Ответ

[math]y=\frac{Cx^4+2x}{1-Cx^3}[/math], [math]y=-x[/math].