Задача №1845
Условие
Найти общее решение уравнения \(y'=\frac{y^2}{x^2}-2\).
Решение
Осуществляя замену \(y=ux\), \(y=u'x+u\), получим:
\[
u'x+u=u^2-2;\; xdu=\left(u^2-u-2\right)dx.
\]
Рассмотрим случай \(u^2-u-2=0\), т.е. \(u=-1\) или \(u=2\). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что данные функции являются решениями уравнения \(xdu=\left(u^2-u-2\right)dx\). Соответственно, функции \(y=-x\) и \(y=2x\) – решения исходного уравнения.
Исключая варианты \(u=-1\), \(u=2\) и полагая \(C_1\gt{0}\), получим:
\[
\int\frac{d\left(u-\frac{1}{2}\right)}{\left(u-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}}=\int\frac{dx}{x};\;
\frac{1}{3}\ln\left|\frac{u-2}{u+1}\right|=\ln|x|+\frac{1}{3}\ln{C_1};\\
\ln\left|\frac{u-2}{u+1}\right|=\ln\left(C_1\left|x^3\right|\right);\;
\left|\frac{u-2}{u+1}\right|=C_1\left|x^3\right|.
\]
Раскрывая модули и переобозначая \(C=\pm{C_1}\), \(C\neq{0}\), получим:
\[
\frac{u-2}{u+1}=Cx^3;\;
\frac{y-2x}{y+x}=Cx^3;\;
y=\frac{Cx^4+2x}{1-Cx^3}.
\]
Полагая \(C=0\) в найденном выражении, получим \(y=2x\).
Ответ:
\(y=\frac{Cx^4+2x}{1-Cx^3}\), \(y=-x\).