3933-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №3933 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Решить уравнение [math]y'\sqrt{1+x+y}=x+y-1[/math].

Решение

Полагая [math]u=\sqrt{x+y+1}[/math], [math]u≥0[/math], получим [math]y=u^2-x-1[/math], [math]y'=2uu'-1[/math].

[math] \left(2uu'-1\right)u=u^2-2;\; 2u^2\cdot{u'}=u^2+u-2. [/math]

Перед разделением переменных рассмотрим случай [math]u^2+u-2=0[/math], т.е. [math]u=1[/math]. Непосредственной проверкой несложно убедиться, что эта функция является решением уравнения [math]2u^2\cdot{u'}=u^2+u-2[/math]. Следовательно, функция [math]y=-x[/math] является решением исходного уравнения. При условии [math]u\neq{1}[/math], получим:


[math] \int\frac{2u^2}{u^2+u-2}=\int{dx};\\ 2u+\frac{2}{3}\ln|u-1|-\frac{8}{3}\ln(u+2)=x+C. [/math]

Ответ

[math]2u+\frac{2}{3}\ln|u-1|-\frac{8}{3}\ln(u+2)=x+C[/math], где [math]u=\sqrt{x+y+1}[/math].