Задача №1844
Условие
Решить уравнение \(y'\sqrt{1+x+y}=x+y-1\).
Решение
Полагая \(u=\sqrt{x+y+1}\), \(u\ge{0}\), получим \(y=u^2-x-1\), \(y'=2uu'-1\).
\[
\left(2uu'-1\right)u=u^2-2;\;
2u^2\cdot{u'}=u^2+u-2.
\]
Перед разделением переменных рассмотрим случай \(u^2+u-2=0\), т.е. \(u=1\). Непосредственной проверкой несложно убедиться, что эта функция является решением уравнения \(2u^2\cdot{u'}=u^2+u-2\). Следовательно, функция \(y=-x\) является решением исходного уравнения. При условии \(u\neq{1}\), получим:
\[
\int\frac{2u^2}{u^2+u-2}=\int{dx};\\
2u+\frac{2}{3}\ln|u-1|-\frac{8}{3}\ln(u+2)=x+C.
\]
Ответ:
\(2u+\frac{2}{3}\ln|u-1|-\frac{8}{3}\ln(u+2)=x+C\), где \(u=\sqrt{x+y+1}\).