3933-1
Информация о задаче
Задача №3933 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Решить уравнение [math]y'\sqrt{1+x+y}=x+y-1[/math].
Решение
Полагая [math]u=\sqrt{x+y+1}[/math], [math]u\ge{0}[/math], получим [math]y=u^2-x-1[/math], [math]y'=2uu'-1[/math].
[dmath] \left(2uu'-1\right)u=u^2-2;\; 2u^2\cdot{u'}=u^2+u-2. [/dmath]
Перед разделением переменных рассмотрим случай [math]u^2+u-2=0[/math], т.е. [math]u=1[/math]. Непосредственной проверкой несложно убедиться, что эта функция является решением уравнения [math]2u^2\cdot{u'}=u^2+u-2[/math]. Следовательно, функция [math]y=-x[/math] является решением исходного уравнения. При условии [math]u\neq{1}[/math], получим:
[dmath]
\int\frac{2u^2}{u^2+u-2}=\int{dx};\\
2u+\frac{2}{3}\ln|u-1|-\frac{8}{3}\ln(u+2)=x+C.
[/dmath]
Ответ
[math]2u+\frac{2}{3}\ln|u-1|-\frac{8}{3}\ln(u+2)=x+C[/math], где [math]u=\sqrt{x+y+1}[/math].
