3932-1
Информация о задаче
Задача №3932 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Решить уравнение [math]y'=3x-2y+5[/math].
Решение
Полагая [math]u=3x-2y+5[/math], получим [math]y=\frac{3x-u+5}{2}[/math], [math]y'=\frac{3}{2}-\frac{u'}{2}[/math].
[dmath] \frac{3}{2}-\frac{u'}{2} =u;\; u'=3-2u. [/dmath]
Перед разделением переменных рассмотрим случай [math]3-2u=0[/math], т.е. [math]u=\frac{3}{2}[/math]. Непосредственной проверкой несложно убедиться, что эта функция является решением уравнения [math]u'=3-2u[/math]. Следовательно, функция [math]y=\frac{3x}{2}+\frac{7}{4}[/math] является решением исходного уравнения. При условии [math]u\neq\frac{3}{2}[/math], получим:
[dmath] \frac{du}{2u-3}=-dx;\; \int\frac{d(2u-3)}{2u-3}=-2\int{dx};\; \ln|2u-3|=-2x+\ln{C_1}. [/dmath]
Здесь [math]C_1\gt{0}[/math]. Упростим полученное выражение:
[dmath] |2u-3|=C_1\cdot{e^{-2x}};\; 2u-3=\pm{C_1}\cdot{e^{-2x}}. [/dmath]
Переобозначая [math]-4C=\pm{C_1}[/math], [math]C\neq{0}[/math], получим [math]6x-4y+7=-4C\cdot{e^{-2x}}[/math], [math]y=\frac{3x}{2}+\frac{7}{4}+C\cdot{e^{-2x}}[/math]. Из данного решения при [math]C=0[/math] можно получить функцию [math]y=\frac{3x}{2}+\frac{7}{4}[/math], найденную ранее.
Ответ
[math]y=\frac{3x}{2}+\frac{7}{4}+C\cdot{e^{-2x}}[/math], [math]C\in{R}[/math].
