Задача №1843
Условие
Решить уравнение \(y'=3x-2y+5\).
Решение
Полагая \(u=3x-2y+5\), получим \(y=\frac{3x-u+5}{2}\), \(y'=\frac{3}{2}-\frac{u'}{2}\).
\[
\frac{3}{2}-\frac{u'}{2}
=u;\;
u'=3-2u.
\]
Перед разделением переменных рассмотрим случай \(3-2u=0\), т.е. \(u=\frac{3}{2}\). Непосредственной проверкой несложно убедиться, что эта функция является решением уравнения \(u'=3-2u\). Следовательно, функция \(y=\frac{3x}{2}+\frac{7}{4}\) является решением исходного уравнения. При условии \(u\neq\frac{3}{2}\), получим:
\[
\frac{du}{2u-3}=-dx;\;
\int\frac{d(2u-3)}{2u-3}=-2\int{dx};\;
\ln|2u-3|=-2x+\ln{C_1}.
\]
Здесь \(C_1\gt{0}\). Упростим полученное выражение:
\[
|2u-3|=C_1\cdot{e^{-2x}};\;
2u-3=\pm{C_1}\cdot{e^{-2x}}.
\]
Переобозначая \(-4C=\pm{C_1}\), \(C\neq{0}\), получим \(6x-4y+7=-4C\cdot{e^{-2x}}\), \(y=\frac{3x}{2}+\frac{7}{4}+C\cdot{e^{-2x}}\). Из данного решения при \(C=0\) можно получить функцию \(y=\frac{3x}{2}+\frac{7}{4}\), найденную ранее.
Ответ:
\(y=\frac{3x}{2}+\frac{7}{4}+C\cdot{e^{-2x}}\), \(C\in{R}\).